Determine a função derivada
da função
dada.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a função derivada
da função dada. A função fornecida é
Informações relevantes que temos: a função é produto de duas funções de
, a primeira é
e a segunda é
. O objetivo é calcular
. Respire fundo — vamos passo a passo que isso fica óbvio.
Passo 2
Regra que vamos usar: produto de funções. Se tivermos duas funções
e
, a derivada do produto é dada por
Aqui
significa a derivada de
em relação a
, e
a derivada de
em relação a
. Explicando com calma: a mudança do produto vem da soma da mudança de cada fator mantendo o outro fixo.
Também vamos usar a regra da cadeia para derivar
: se
então
Isto significa que a derivada do exponencial é o exponencial vezes a derivada do expoente.
Passo 3
Identificamos os fatores do produto:
Agora vamos achar
e
.
Passo 4
Derivada de
. Aplicando a regra da cadeia com
temos
. Logo
Expliquei: derivar
é multiplicar por derivada de
, que é
.
Passo 5
Derivada de
. Conhecemos a derivada básica:
Ou seja, a derivada do cosseno é menos seno.
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto
. Substituindo
obtemos
Simplificando os sinais:
Passo 7
Fatorando
(ou
, se preferir) para deixar a expressão mais compacta:
Essa forma é conveniente porque mostra um fator exponencial comum multiplicando a soma trigonométrica.