Determine a função derivada f^{\prime} da função f dada.
f(x)=e^{-x} \cos x

Passo 1

O enunciado pede: determinar a função derivada f' da função dada. A função fornecida é
f(x)=e^{-x}\cos x.
Informações relevantes que temos: a função é produto de duas funções de x, a primeira é e^{-x} e a segunda é \cos x. O objetivo é calcular f'(x). Respire fundo — vamos passo a passo que isso fica óbvio.

Passo 2

Regra que vamos usar: produto de funções. Se tivermos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto é dada por
(uv)'=u'v+uv'.
Aqui u'(x) significa a derivada de u em relação a x, e v'(x) a derivada de v em relação a x. Explicando com calma: a mudança do produto vem da soma da mudança de cada fator mantendo o outro fixo.
Também vamos usar a regra da cadeia para derivar e^{g(x)}: se h(x)=e^{g(x)} então
h'(x)=g'(x)\,e^{g(x)}.
Isto significa que a derivada do exponencial é o exponencial vezes a derivada do expoente.

Passo 3

Identificamos os fatores do produto:
u(x)=e^{-x},\qquad v(x)=\cos x.
Agora vamos achar u'(x) e v'(x).

Passo 4

Derivada de u(x)=e^{-x}. Aplicando a regra da cadeia com g(x)=-x temos g'(x)=-1. Logo
u'(x)=g'(x)\,e^{g(x)}=(-1)\,e^{-x}=-e^{-x}.
Expliquei: derivar e^{-x} é multiplicar por derivada de -x, que é -1.

Passo 5

Derivada de v(x)=\cos x. Conhecemos a derivada básica:
v'(x)=\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x.
Ou seja, a derivada do cosseno é menos seno.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto (uv)'=u'v+uv'. Substituindo u,u',v,v' obtemos
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(-e^{-x})\cos x + e^{-x}(-\sin x).
Simplificando os sinais:
f'(x)=-e^{-x}\cos x - e^{-x}\sin x.

Passo 7

Fatorando -e^{-x} (ou e^{-x}, se preferir) para deixar a expressão mais compacta:
f'(x)=-e^{-x}\bigl(\cos x + \sin x\bigr).
Essa forma é conveniente porque mostra um fator exponencial comum multiplicando a soma trigonométrica.

Resposta

-e^{-x}\bigl(\cos x + \sin x\bigr)

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