Determine a função derivada f^{\prime} da função f dada.
$f(x)=\left(3{x}+1\right){2025}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\left(3^{x}+1\right)^{2025}
e pede para determinar a derivada f^{\prime}(x). Informações relevantes que temos: o expoente é 2025 e a parte interna da potência é 3^{x}+1. A tarefa é calcular a derivada dessa função composta.

Passo 2

Uma ideia muito prática é ver a função como uma composição: primeiro calculamos u(x)=3^{x}+1 e depois elevamos u à potência 2025. Ou seja, escrevemos
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{2025}\quad\text{com}\quad u(x)=3^{x}+1.
Para funções do tipo \bigl(u(x)\bigr)^{n} (com n constante), usamos a regra de derivação da potência composta (cadeia): se g(u)=u^{n}, então
g'(u)=n\,u^{\,n-1}.
E para a composição f(x)=g(u(x)) a regra da cadeia diz que
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Ou seja: derivamos a função exterior e multiplicamos pela derivada da função interior.

Passo 3

Agora precisamos da derivada de u(x)=3^{x}+1. A parte constante +1 some ao derivar, resta derivar 3^{x}. Para derivar 3^{x} usamos que, em geral, para a>0,
\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a.
Uma forma de ver isso é reescrever 3^{x}=e^{x\ln 3} e derivar exponencialmente; assim obtemos
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3^{x}+1\bigr)=3^{x}\ln 3.

Passo 4

Aplicando a regra da potência composta (passo 2) com n=2025 e u(x)=3^{x}+1, temos
f'(x)=2025\bigl(u(x)\bigr)^{2024}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=3^{x}+1 e u'(x)=3^{x}\ln 3, obtemos
f'(x)=2025\bigl(3^{x}+1\bigr)^{2024}\cdot\bigl(3^{x}\ln 3\bigr).

Passo 5

Podemos organizar o resultado colocando os fatores mais legíveis. Multiplicando os termos, uma forma mais compacta é
f'(x)=2025\ln 3\; \cdot 3^{x}\bigl(3^{x}+1\bigr)^{2024}.
Essa é a expressão final e é exatamente o que você faria em uma prova: derivar a potência exterior (trazer o expoente como fator e reduzir o expoente em 1) e multiplicar pela derivada da parte interna (derivada de 3^{x}+1).

Passo 6

Dica rápida para a prova (prática): sempre procure a “parte externa” (a potência) e a “parte interna” (a expressão dentro da potência). Derive a externa como n u^{n-1} e multiplique pela derivada da interna. Para funções do tipo \bigl(a^{x}+b\bigr)^{n} o padrão será
\frac{d}{dx}\bigl(a^{x}+b\bigr)^{n}=n\bigl(a^{x}+b\bigr)^{n-1}\cdot a^{x}\ln a.
Exemplo rápido e simples para treinar: se h(x)=(3^{x}+1)^{2} então
h'(x)=2(3^{x}+1)\cdot 3^{x}\ln 3.

Resposta

f'(x)=2025\ln 3\; 3^{x}\bigl(3^{x}+1\bigr)^{2024}

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