Determine a função derivada
da função
dada.
$f(x)=\left(3{x}+1\right){2025}
$f(x)=\left(3{x}+1\right){2025}
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a derivada
. Informações relevantes que temos: o expoente é
e a parte interna da potência é
. A tarefa é calcular a derivada dessa função composta.
Passo 2
Uma ideia muito prática é ver a função como uma composição: primeiro calculamos
e depois elevamos
à potência
. Ou seja, escrevemos
Para funções do tipo
(com
constante), usamos a regra de derivação da potência composta (cadeia): se
, então
E para a composição
a regra da cadeia diz que
Ou seja: derivamos a função exterior e multiplicamos pela derivada da função interior.
Passo 3
Agora precisamos da derivada de
. A parte constante
some ao derivar, resta derivar
. Para derivar
usamos que, em geral, para
,
Uma forma de ver isso é reescrever
e derivar exponencialmente; assim obtemos
Passo 4
Aplicando a regra da potência composta (passo 2) com
e
, temos
Substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Podemos organizar o resultado colocando os fatores mais legíveis. Multiplicando os termos, uma forma mais compacta é
Essa é a expressão final e é exatamente o que você faria em uma prova: derivar a potência exterior (trazer o expoente como fator e reduzir o expoente em 1) e multiplicar pela derivada da parte interna (derivada de
).
Passo 6
Dica rápida para a prova (prática): sempre procure a “parte externa” (a potência) e a “parte interna” (a expressão dentro da potência). Derive a externa como
e multiplique pela derivada da interna. Para funções do tipo
o padrão será
Exemplo rápido e simples para treinar: se
então