Seja f:(-a, a) \rightarrow \mathbb{R} uma função. Avalie as afirmações seguintes a respeito de f e assinale a alter- nativa correta.
(a) Se f é contínua, então f é derivável.
(b) Se f é derivável e f(-x)=-f(x), para todo x, então f^{\prime}(-x)=-f^{\prime}(x) para todo x.
(c) Se f é derivável, então f é contínua.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:(-a,a)\to\mathbb{R} e pede para avaliar a veracidade das três afirmações abaixo e escolher a alternativa correta:
(a) Se f é contínua, então f é derivável.
(b) Se f é derivável e f(-x)=-f(x) para todo x, então f^{\prime}(-x)=-f^{\prime}(x) para todo x.
\text{(c)} Se f é derivável, então f é contínua.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O domínio de f é o intervalo aberto (-a,a).
  • As três afirmações devem ser analisadas para todo x em (-a,a) (quando aplicável).
  • Não há outras hipóteses especiais sobre f (como ser polinomial, par, ímpar, etc.), exceto as que aparecem nas próprias afirmações.

Passo 2

Analisando a afirmação (a): “Se f é contínua, então f é derivável.”
Vou mostrar que essa afirmação é falsa dando um contraexemplo clássico e explicando por que ele funciona.
Contraexemplo: considere a função f(x)=\lvert x\rvert definida em (-a,a).
  • Primeiro, mostro que \lvert x\rvert é contínua em todo ponto de (-a,a). Isso é conhecido mas dá para ver diretamente: tanto para x>0 quanto para x<0 a expressão \lvert x\rvert é igual a \pm x, funções lineares (logo contínuas), e no ponto x=0 temos \lim_{x\to 0}\lvert x\rvert=0=f(0). Portanto f é contínua em todo (-a,a).
  • Agora, vejo se f é derivável em x=0. A derivada em 0 (se existir) seria
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{\lvert x\rvert}{x}.
Calculo as derivadas laterais:
\lim_{x\to 0^+}\frac{\lvert x\rvert}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{x}=1,
\lim_{x\to 0^-}\frac{\lvert x\rvert}{x}=\lim_{x\to 0^-}\frac{-x}{x}=-1.
Como os limites lateral direito e esquerdo são diferentes ( 1 e -1), o limite completo não existe. Logo f não é derivável em 0.
Conclusão: existe função contínua não derivável, então a afirmação (a) é falsa.
Observação didática rápida: continuidade é sobre valores aproximando o ponto, derivabilidade exige um comportamento linear (uma boa aproximação por uma reta) — ser contínuo não garante essa aproximação linear na vizinhança do ponto.

Passo 3

Analisando a afirmação (b): “Se f é derivável e f(-x)=-f(x) para todo x, então f^{\prime}(-x)=-f^{\prime}(x) para todo x.”
Primeiro, interpreto a hipótese: f(-x)=-f(x) significa que f é ímpar. A afirmação diz que a derivada seria também ímpar. Vou mostrar que isso é, na verdade, falso em geral e depois dou a identidade correta.
Contraexemplo simples: tome f(x)=x^{3}.
  • f é derivável em todo \mathbb{R} e é ímpar, porque f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x).
  • A derivada é f^{\prime}(x)=3x^{2}. Então
f^{\prime}(-x)=3(-x)^{2}=3x^{2}=f^{\prime}(x),
ou seja, f^{\prime} é uma função par, não ímpar. Assim f^{\prime}(-x)=-f^{\prime}(x) é falso para este f. Portanto a afirmação (b) é falsa.
Além do contraexemplo, é útil saber a identidade correta: se f é derivável e ímpar, então f' é par. Podemos prová-lo rapidamente: partir de f(-x)=-f(x) e diferenciar ambos os lados em relação a x. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(f(-x)\bigr)=f'(-x)\cdot(-1).
Ao mesmo tempo
\frac{d}{dx}\bigl(-f(x)\bigr)=-f'(x).
Igualando as duas derivadas obtemos -f'(-x)=-f'(x), ou seja f'(-x)=f'(x). Conclusão: derivada de função ímpar é par — o oposto do que a afirmação (b) dizia.

Passo 4

Analisando a afirmação \text{(c)}: “Se f é derivável, então f é contínua.”
Vou provar que essa afirmação é verdadeira, com uma demonstração direta e didática usando a definição de derivada.
Prova (ponto a ponto): seja x_{0}\in(-a,a). Suponha que f é derivável em x_{0}; isto significa que existe o limite
f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}.
Chamo esse limite de L, ou seja L=f'(x_{0}). Reescrevo a diferença f(x)-f(x_{0}) como
f(x)-f(x_{0})=(x-x_{0})\cdot\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}.
Agora tomo limite quando x\to x_{0}. O fator (x-x_{0}) tende a 0 e o fator \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} tende a L. Portanto o produto tende a 0\cdot L=0. Assim
\lim_{x\to x_{0}}(f(x)-f(x_{0}))=0,
o que implica \lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}). Isso mostra que f é contínua em x_{0}. Como x_{0} foi um ponto arbitrário de (-a,a), f é contínua em todo o domínio. Logo a afirmação \text{(c)} é verdadeira.
Didática extra: intuitivamente, derivabilidade significa que perto de x_{0} a função se comporta como uma reta (mais um erro que vai para zero), então os valores se aproximam do valor no ponto — portanto continuidade.

Passo 5

Resumo das conclusões:
  • (a) é falsa — contraexemplo f(x)=\lvert x\rvert.
  • (b) é falsa — contraexemplo f(x)=x^{3}; nota: a identidade correta é f'(-x)=f'(x) quando f é ímpar.
  • \text{(c)} é verdadeira — demonstrado a partir da definição de derivada.

Resposta

Apenas \text{(c)} é verdadeira.

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