Seja
uma função. Avalie as afirmações seguintes a respeito de
e assinale a alter- nativa correta.
(a) Se
é contínua, então
é derivável.
(b) Se
é derivável e
, para todo
, então
para todo
.
(c) Se
é derivável, então
é contínua.
(a) Se
(b) Se
(c) Se
Passo 1
O enunciado dá uma função
e pede para avaliar a veracidade das três afirmações abaixo e escolher a alternativa correta:
Se
é contínua, então
é derivável.
Se
é derivável e
para todo
, então
para todo
.
Se
é derivável, então
é contínua.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O domínio de
é o intervalo aberto . - As três afirmações devem ser analisadas para todo
em (quando aplicável). - Não há outras hipóteses especiais sobre
(como ser polinomial, par, ímpar, etc.), exceto as que aparecem nas próprias afirmações.
Passo 2
Analisando a afirmação
: “Se
é contínua, então
é derivável.”
Vou mostrar que essa afirmação é falsa dando um contraexemplo clássico e explicando por que ele funciona.
Vou mostrar que essa afirmação é falsa dando um contraexemplo clássico e explicando por que ele funciona.
Contraexemplo: considere a função
definida em
.
- Primeiro, mostro que
é contínua em todo ponto de . Isso é conhecido mas dá para ver diretamente: tanto para quanto para a expressão é igual a , funções lineares (logo contínuas), e no ponto temos . Portanto é contínua em todo . - Agora, vejo se
é derivável em . A derivada em (se existir) seria
Calculo as derivadas laterais:
Como os limites lateral direito e esquerdo são diferentes (
e
), o limite completo não existe. Logo
não é derivável em
.
Conclusão: existe função contínua não derivável, então a afirmação é falsa.
Conclusão: existe função contínua não derivável, então a afirmação
Observação didática rápida: continuidade é sobre valores aproximando o ponto, derivabilidade exige um comportamento linear (uma boa aproximação por uma reta) — ser contínuo não garante essa aproximação linear na vizinhança do ponto.
Passo 3
Analisando a afirmação
: “Se
é derivável e
para todo
, então
para todo
.”
Primeiro, interpreto a hipótese: significa que
é ímpar. A afirmação diz que a derivada seria também ímpar. Vou mostrar que isso é, na verdade, falso em geral e depois dou a identidade correta.
Primeiro, interpreto a hipótese:
Contraexemplo simples: tome
.
-
é derivável em todo e é ímpar, porque . - A derivada é
. Então
ou seja,
é uma função par, não ímpar. Assim
é falso para este
. Portanto a afirmação
é falsa.
Além do contraexemplo, é útil saber a identidade correta: se
é derivável e ímpar, então
é par. Podemos prová-lo rapidamente: partir de
e diferenciar ambos os lados em relação a
. Pela regra da cadeia,
Ao mesmo tempo
Igualando as duas derivadas obtemos
, ou seja
. Conclusão: derivada de função ímpar é par — o oposto do que a afirmação
dizia.
Passo 4
Analisando a afirmação
: “Se
é derivável, então
é contínua.”
Vou provar que essa afirmação é verdadeira, com uma demonstração direta e didática usando a definição de derivada.
Vou provar que essa afirmação é verdadeira, com uma demonstração direta e didática usando a definição de derivada.
Prova (ponto a ponto): seja
. Suponha que
é derivável em
; isto significa que existe o limite
Chamo esse limite de
, ou seja
. Reescrevo a diferença
como
Agora tomo limite quando
. O fator
tende a
e o fator
tende a
. Portanto o produto tende a
. Assim
o que implica
. Isso mostra que
é contínua em
. Como
foi um ponto arbitrário de
,
é contínua em todo o domínio. Logo a afirmação
é verdadeira.
Didática extra: intuitivamente, derivabilidade significa que perto de
a função se comporta como uma reta (mais um erro que vai para zero), então os valores se aproximam do valor no ponto — portanto continuidade.
Passo 5
Resumo das conclusões:
-
é falsa — contraexemplo . -
é falsa — contraexemplo ; nota: a identidade correta é quando é ímpar. -
é verdadeira — demonstrado a partir da definição de derivada.
Resposta
Apenas
é verdadeira.