Determine a função derivada f^{\prime} da função f dada.
f(x)=\frac{2 x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\frac{2x}{x^{2}+1} e pede para determinar a derivada f^{\prime}.\n
Informações importantes fornecidas:
\text{Função: } f(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}.çã
\text{Queremos: } f^{\prime}(x)\text{, a derivada em função de }x.çã

Passo 2

O que é derivada, em palavras simples: a derivada f^{\prime}(x) mede a taxa de variação instantânea de f em relação a x — geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico em cada ponto. A definição formal é o limite do quociente incremental, mas na prática usamos regras que nos permitem calcular a derivada sem fazer o limite toda vez.
Aqui temos uma razão (uma função dividida por outra). Há duas abordagens usuais que funcionam bem:
  • usar a regra do quociente diretamente, ou
  • reescrever como produto 2x\cdot (x^{2}+1)^{-1} e usar regra do produto + regra da cadeia.
Vou usar a regra do quociente porque é direta e curta para esse tipo de função. Também faço uma verificação alternativa no final para você ver que dá no mesmo.

Passo 3

Apresentando a regra do quociente (com explicação): se tivermos
\displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
onde u e v são funções diferenciáveis e v(x)\neq0, então a derivada é
\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x)\,v(x)-u(x)\,v^{\prime}(x)}{[v(x)]^{2}}.
O que isso diz, em palavras: derivamos o numerador u deixando o denominador v como está, menos o numerador u vezes a derivada do denominador v, tudo dividido pelo quadrado do denominador. As letras u e v representam funções quaisquer; u^{\prime} e v^{\prime} são as derivadas delas.

Passo 4

Identificamos as funções u e v no nosso caso:
u(x)=2x,\qquad v(x)=x^{2}+1.
Agora calculamos as derivadas u^{\prime} e v^{\prime}, usando regras básicas:
  • derivada de \,2x em relação a x é 2, porque a derivada de ax é a;
  • derivada de \,x^{2}+1 é 2x, pois a derivada de x^{2} é 2x e de constante é 0.
Logo:
u^{\prime}(x)=2,\qquad v^{\prime}(x)=2x.

Passo 5

Aplicamos a regra do quociente, substituindo u, v, u^{\prime} e v^{\prime}:
\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x)\,v(x)-u(x)\,v^{\prime}(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{2\,(x^{2}+1)- (2x)\,(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 6

Agora simplificamos o numerador passo a passo:
2\,(x^{2}+1)=2x^{2}+2,
(2x)\,(2x)=4x^{2},
então o numerador fica
2x^{2}+2-4x^{2}=(2x^{2}-4x^{2})+2=-2x^{2}+2.
Fatorando 2 obtemos
-2x^{2}+2=2(1-x^{2}).

Passo 7

Substituindo a simplificação no quociente, a derivada fica
\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}.
Observação sobre domínio: como x^{2}+1>0 para todo x\in\mathbb{R}, o denominador nunca é zero, então f^{\prime}(x) está bem definida para todo x real.

Passo 8

Verificação alternativa (rápida) usando produto + cadeia para reforçar a ideia: escrevendo
f(x)=2x\cdot (x^{2}+1)^{-1},
usamos regra do produto: (uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}, com u=2x e v=(x^{2}+1)^{-1}.
u^{\prime}=2,\qquad v^{\prime}=-1\cdot (x^{2}+1)^{-2}\cdot (2x) = -\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}
(entendeu a regra da cadeia: derivada de (\cdot)^{-1} é -1\cdot(\cdot)^{-2} vezes a derivada do interno).
Aplicando:
f^{\prime}=2\cdot (x^{2}+1)^{-1} + 2x\cdot\left(-\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\right) =\frac{2}{x^{2}+1}-\frac{4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
Colocando no mesmo denominador (x^{2}+1)^{2} e simplificando chega-se exatamente em \displaystyle\frac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}, mesma resposta — bom sinal!

Resposta

\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}

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