Determine a função derivada
da função
dada.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a derivada
.\n
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
Passo 2
O que é derivada, em palavras simples: a derivada
mede a taxa de variação instantânea de
em relação a
— geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico em cada ponto. A definição formal é o limite do quociente incremental, mas na prática usamos regras que nos permitem calcular a derivada sem fazer o limite toda vez.
Aqui temos uma razão (uma função dividida por outra). Há duas abordagens usuais que funcionam bem:
- usar a regra do quociente diretamente, ou
- reescrever como produto
e usar regra do produto + regra da cadeia.
Vou usar a regra do quociente porque é direta e curta para esse tipo de função. Também faço uma verificação alternativa no final para você ver que dá no mesmo.
Passo 3
Apresentando a regra do quociente (com explicação): se tivermos
onde
e
são funções diferenciáveis e
, então a derivada é
O que isso diz, em palavras: derivamos o numerador
deixando o denominador
como está, menos o numerador
vezes a derivada do denominador
, tudo dividido pelo quadrado do denominador. As letras
e
representam funções quaisquer;
e
são as derivadas delas.
Passo 4
Identificamos as funções
e
no nosso caso:
Agora calculamos as derivadas
e
, usando regras básicas:
- derivada de
em relação a é , porque a derivada de é ; - derivada de
é , pois a derivada de é e de constante é .
Logo:
Passo 5
Aplicamos a regra do quociente, substituindo
,
,
e
:
Passo 6
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
então o numerador fica
Fatorando
obtemos
Passo 7
Substituindo a simplificação no quociente, a derivada fica
Observação sobre domínio: como
para todo
, o denominador nunca é zero, então
está bem definida para todo
real.
Passo 8
Verificação alternativa (rápida) usando produto + cadeia para reforçar a ideia: escrevendo
usamos regra do produto:
, com
e
.
(entendeu a regra da cadeia: derivada de
é
vezes a derivada do interno).
Aplicando:
Aplicando:
Colocando no mesmo denominador
e simplificando chega-se exatamente em
, mesma resposta — bom sinal!