Determine a função derivada das funções.
f(x)=\sqrt{x} . \operatorname{sen} x .\left(x^{2}+x\right).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{x}\,\operatorname{sen} x\,(x^{2}+x)
e pede para determinar a sua função derivada f'(x).
Informações importantes que temos desde o enunciado:
  • A função é produto de três fatores: \sqrt{x}, \operatorname{sen} x e x^{2}+x.
  • A raiz quadrada impõe que o domínio da expressão original é x\ge 0. A derivação que vamos fazer vale para pontos onde cada fator é diferenciável; em particular a fórmula final será válida para x>0 (mais adiante comento sobre x=0).

Passo 2

Quando temos um produto de três funções, a regra de derivação que se aplica é a extensão da regra do produto: se u(x), v(x) e w(x) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)w(x)\bigr)=u'(x)\,v(x)\,w(x)+u(x)\,v'(x)\,w(x)+u(x)\,v(x)\,w'(x).
Explicando em palavras: derivamos uma das funções por vez e multiplicamos pelas outras duas mantidas, somando os três termos resultantes. Esta fórmula é exatamente a mesma ideia da regra do produto para duas funções aplicada duas vezes.

Passo 3

Vamos identificar os três fatores e calcular as derivadas parciais:
Escolho
u(x)=\sqrt{x}=x^{\tfrac12},\qquad v(x)=\operatorname{sen} x,\qquad w(x)=x^{2}+x.
Agora as derivadas:
  • Para u(x)=x^{1/2} usamos a regra da potência: se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=\tfrac12,
u'(x)=\tfrac12 x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\quad\text{(válido para \(x>0\))}.á
  • Para v(x)=\operatorname{sen} x a derivada conhecida é
v'(x)=\cos x.
  • Para w(x)=x^{2}+x derivamos termo a termo (regra da soma e potência):
w'(x)=2x+1.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do produto para as três funções, substituindo u,u',v,v',w,w':
f'(x)=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)w'(x).
Substituindo os valores:
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\;\operatorname{sen} x\;(x^{2}+x) +\sqrt{x}\;\cos x\;(x^{2}+x) +\sqrt{x}\;\operatorname{sen} x\;(2x+1).

Passo 5

Podemos deixar a expressão um pouco mais organizada, por exemplo agrupando o fator (x^{2}+x) nos dois primeiros termos:
f'(x)=(x^{2}+x)\left(\frac{\operatorname{sen} x}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\,\cos x\right)+\sqrt{x}\,\operatorname{sen} x\,(2x+1).
Observação sobre domínio: a dedução acima usou u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, que existe apenas para x>0. Portanto a expressão para f'(x) é válida para x>0. Em x=0 deve-se verificar a derivada pelo limite; em geral a derivada de \sqrt{x} em 0 não existe finitamente, então f'(0) não é obtida diretamente pela fórmula acima.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\;\operatorname{sen} x\;(x^{2}+x) +\sqrt{x}\;\cos x\;(x^{2}+x) +\sqrt{x}\;\operatorname{sen} x\;(2x+1)

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