Determine a função derivada das funções.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a sua função derivada
.
Informações importantes que temos desde o enunciado:
Informações importantes que temos desde o enunciado:
- A função é produto de três fatores:
, e . - A raiz quadrada impõe que o domínio da expressão original é
. A derivação que vamos fazer vale para pontos onde cada fator é diferenciável; em particular a fórmula final será válida para (mais adiante comento sobre ).
Passo 2
Quando temos um produto de três funções, a regra de derivação que se aplica é a extensão da regra do produto: se
,
e
são diferenciáveis, então
Explicando em palavras: derivamos uma das funções por vez e multiplicamos pelas outras duas mantidas, somando os três termos resultantes. Esta fórmula é exatamente a mesma ideia da regra do produto para duas funções aplicada duas vezes.
Passo 3
Vamos identificar os três fatores e calcular as derivadas parciais:
Escolho
Agora as derivadas:
- Para
usamos a regra da potência: se então . Aplicando com ,
- Para
a derivada conhecida é
- Para
derivamos termo a termo (regra da soma e potência):
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula do produto para as três funções, substituindo
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Podemos deixar a expressão um pouco mais organizada, por exemplo agrupando o fator
nos dois primeiros termos:
Observação sobre domínio: a dedução acima usou
, que existe apenas para
. Portanto a expressão para
é válida para
. Em
deve-se verificar a derivada pelo limite; em geral a derivada de
em
não existe finitamente, então
não é obtida diretamente pela fórmula acima.