Determine a função derivada das funções.
f(x)=\frac{2 \cos x-1}{\operatorname{tg} x+\sqrt{2}}+\pi.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado pede a derivada da função f.
  • A função dada é
f(x)=\frac{2\cos x-1}{\tan x+\sqrt{2}}+\pi.
  • Informações úteis que já estão no enunciado:
    • \sqrt{2} e \pi são constantes (a derivada de qualquer constante é zero).
    • A função é soma de uma fração (razão) dependente de x e da constante \pi. Então a derivada será a derivada da fração (pois a derivada de \pi é zero).

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicação passo a passo e sem pular etapas).
  • Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=h(x)+c com c constante, então g'(x)=h'(x)+0=h'(x).
  • Derivadas básicas das funções trigonométricas:
    • A derivada de \cos x é \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
    • A derivada de \tan x é \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x, onde \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Então \operatorname{sec}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}.
  • Regra do quociente (regra da razão): se h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.
Aqui u(x) é o numerador e v(x) é o denominador. Essa fórmula vem da combinação da regra do produto com a derivada de 1/v, mas para a prova decore e saiba aplicar com calma.
Vou usar essas regras aplicadas diretamente à nossa fração.

Passo 3

Identificar numerador u(x) e denominador v(x) e calcular suas derivadas separadamente.
  • Definimos
u(x)=2\cos x-1, \qquad v(x)=\tan x+\sqrt{2}.
  • Derivada de u(x):
    • A derivada de 2\cos x é 2 vezes a derivada de \cos x, isto é 2\cdot(-\sin x)=-2\sin x.
    • A derivada de -1 é 0.
    • Portanto
    u'(x)=-2\sin x.
  • Derivada de v(x):
    • A derivada de \tan x é \operatorname{sec}^2 x.
    • A derivada de \sqrt{2} (constante) é 0.
    • Portanto
    v'(x)=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente substituindo u,u',v,v' na fórmula.
A derivada da parte fracionária é
\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{(-2\sin x)\,(\tan x+\sqrt{2})-(2\cos x-1)\,\operatorname{sec}^2 x}{\bigl(\tan x+\sqrt{2}\bigr)^2}.
Lembre que a derivada total de f inclui também a derivada de \pi, mas \dfrac{d}{dx}\pi=0. Assim
f'(x)=\frac{(-2\sin x)\,(\tan x+\sqrt{2})-(2\cos x-1)\,\operatorname{sec}^2 x}{\bigl(\tan x+\sqrt{2}\bigr)^2}.

Passo 5

Explico rapidamente como entender e, se quiser, simplificar essa expressão:
  • A primeira parcela do numerador vem de u'(x)\,v(x): -2\sin x multiplicado por \tan x+\sqrt{2}.
  • A segunda parcela vem de u(x)\,v'(x): 2\cos x-1 multiplicado por \operatorname{sec}^2 x.
  • \operatorname{sec}^2 x pode ser reescrito como \dfrac{1}{\cos^2 x} se preferir expressar tudo em termos de \sin e \cos.
  • Não é necessário forçar uma simplificação mais pesada para a prova, a forma com \tan e \operatorname{sec}^2 é perfeitamente aceitável e clara.
Se alguém pedir para reescrever em termos de \sin e \cos, substitui-se \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x} e coloca-se um denominador comum; dá trabalho a mais e raramente é necessário, salvo pedido explícito.

Resposta

f'(x)=\frac{-2\sin x\bigl(\tan x+\sqrt{2}\bigr)-(2\cos x-1)\operatorname{sec}^2 x}{\bigl(\tan x+\sqrt{2}\bigr)^2}

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