Determine a função derivada das funções.
.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
- O enunciado pede a derivada da função
. - A função dada é
- Informações úteis que já estão no enunciado:
-
e são constantes (a derivada de qualquer constante é zero). - A função é soma de uma fração (razão) dependente de
e da constante . Então a derivada será a derivada da fração (pois a derivada de é zero).
-
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicação passo a passo e sem pular etapas).
-
Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
com constante, então . -
Derivadas básicas das funções trigonométricas:
- A derivada de
é . - A derivada de
é , onde . Então .
- A derivada de
-
Regra do quociente (regra da razão): se
com , então
Aqui
é o numerador e
é o denominador. Essa fórmula vem da combinação da regra do produto com a derivada de
, mas para a prova decore e saiba aplicar com calma.
Vou usar essas regras aplicadas diretamente à nossa fração.
Passo 3
Identificar numerador
e denominador
e calcular suas derivadas separadamente.
- Definimos
-
Derivada de
: - A derivada de
é vezes a derivada de , isto é . - A derivada de
é . - Portanto
- A derivada de
-
Derivada de
: - A derivada de
é . - A derivada de
(constante) é . - Portanto
- A derivada de
Passo 4
Aplicar a regra do quociente substituindo
na fórmula.
A derivada da parte fracionária é
Lembre que a derivada total de
inclui também a derivada de
, mas
. Assim
Passo 5
Explico rapidamente como entender e, se quiser, simplificar essa expressão:
- A primeira parcela do numerador vem de
: multiplicado por . - A segunda parcela vem de
: multiplicado por . -
pode ser reescrito como se preferir expressar tudo em termos de e . - Não é necessário forçar uma simplificação mais pesada para a prova, a forma com
e é perfeitamente aceitável e clara.
Se alguém pedir para reescrever em termos de
e
, substitui-se
e
e coloca-se um denominador comum; dá trabalho a mais e raramente é necessário, salvo pedido explícito.