Determine a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{\ln x}{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\ln x}{\cos x},
que está no domínio x>0 e \cos x\neq0. Vamos usar a regra do quociente, além das derivadas conhecidas de \ln x e de \cos x.

Passo 2

Seja
u(x)=\ln x,\quad v(x)=\cos x.
Então
u'(x)=\frac{1}{x},\quad v'(x)=-\sin x.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{\frac{1}{x}\cos x-\ln x\bigl(-\sin x\bigr)}{\cos^2 x}.

Passo 4

No numerador,
\frac{1}{x}\cos x-\ln x\bigl(-\sin x\bigr) =\frac{\cos x}{x}+\ln x\,\sin x,
ficando
f'(x) =\frac{\displaystyle\frac{\cos x}{x}+\ln x\,\sin x}{\cos^2 x}.

Passo 5

Para simplificar, coloque tudo sobre o mesmo denominador x\cos^2 x:
\frac{\cos x}{x\cos^2 x}+\frac{x\ln x\,\sin x}{x\cos^2 x} =\frac{\cos x+x\ln x\,\sin x}{x\cos^2 x}.

Resposta

f'(x) =\frac{\cos x + x\,\ln x\,\sin x}{x\,\cos^2 x}.

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