Determine a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\log _{a} \log _{b} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\log_{a}\bigl(\log_{b}x\bigr). O conteúdo envolvido é regra da cadeia e derivada de logaritmo em bases arbitrárias, lembrando que
\frac{d}{dx}\bigl[\log_{k}u(x)\bigr] =\frac{1}{u(x)\,\ln(k)}\;u'(x).

Passo 2

Primeiro escrevemos tudo em log natural para simplificar. Temos
\log_{b}x=\frac{\ln(x)}{\ln(b)},
então
f(x)=\log_{a}\bigl(\log_{b}x\bigr) =\frac{\ln\bigl(\log_{b}x\bigr)}{\ln(a)} =\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{\ln(x)}{\ln(b)}\bigr)}{\ln(a)}.

Passo 3

Simplificando o numerador usando propriedades de log:
\ln\!\bigl(\tfrac{\ln(x)}{\ln(b)}\bigr) =\ln\bigl(\ln(x)\bigr)-\ln\bigl(\ln(b)\bigr).
Como \ln\bigl(\ln(b)\bigr) é constante, só restará derivar \ln(\ln(x)).

Passo 4

Derivando f(x)=\tfrac{1}{\ln(a)}\bigl[\ln(\ln(x))-\ln(\ln(b))\bigr] pela regra da cadeia:
f'(x) =\frac{1}{\ln(a)}\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\ln(\ln(x))\bigr] =\frac{1}{\ln(a)}\cdot\frac{1}{\ln(x)}\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x)\bigr] =\frac{1}{\ln(a)}\cdot\frac{1}{\ln(x)}\cdot\frac{1}{x}.

Passo 5

Reorganizando, obtemos
f'(x) =\frac{1}{x\,\ln(x)\,\ln(a)}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{x\,\ln(x)\,\ln(a)}.

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