Nos Exercícios de 13 a 16, ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y=raizx, pelo eixo x e pela reta x=4.
o eixo y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo y, a região limitada por y=√x, o eixo x e a reta x=4. O conteúdo é cálculo de volumes por revolução, e vamos precisar usar o método dos cilindros (método das cascas cilíndricas) por girar em torno de um eixo vertical.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas, cada “fatia” vertical em x, de espessura dx, gera um cilindro de raio igual a x e altura igual à diferença entre o topo e o fundo da região. Aqui a altura é √x−0. A fórmula geral do volume por cascas é
V=2piintegrala^b (raio)times(a

Passo 3

Para nosso caso, temos a região de x=0 até x=4, raio=x e altura=√x. Logo substituímos na fórmula:
V=2piintegral0^4 xcdotraizx,dx=2piintegral0^4 x^3/2,dx

Passo 4

Agora calculamos a integral de x^{3/2}. Lembrando que integral x^n,dx=x^n+1n+1+C, temos:
integral0^4 x^3/2,dx=x^5/25/2|0^4=25x^5/2|0^4

Passo 5

Avaliaremos em x=4 e x=0. Como 4^5/2=(raiz4)^5=2^5=32, obtemos
25cdot32-0=645
Multiplicando por 2\pi, o volume é 2\pi·64/5 = 128\pi/5.

Passo 6

Portanto, o volume do sólido gerado é 128\pi/5.

Resposta

128pi5

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