Nos Exercícios de 13 a 16, ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva , pelo eixo e pela reta .
o eixo
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo y, a região limitada por y=√x, o eixo x e a reta x=4. O conteúdo é cálculo de volumes por revolução, e vamos precisar usar o método dos cilindros (método das cascas cilíndricas) por girar em torno de um eixo vertical.
Passo 2
No método das cascas cilíndricas, cada “fatia” vertical em x, de espessura dx, gera um cilindro de raio igual a x e altura igual à diferença entre o topo e o fundo da região. Aqui a altura é √x−0. A fórmula geral do volume por cascas é
Passo 3
Para nosso caso, temos a região de x=0 até x=4, raio=x e altura=√x. Logo substituímos na fórmula:
Passo 4
Agora calculamos a integral de x^{3/2}. Lembrando que , temos:
Passo 5
Avaliaremos em x=4 e x=0. Como 4^5/2=(raiz4)^5=2^5=32, obtemos
25cdot32-0=645
Multiplicando por 2\pi, o volume é 2\pi·64/5 = 128\pi/5.