Para que valores de k \in \mathbb{R}, a função abaixo representa uma densidade de probabilidade:
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} k\left(1-x^{2}\right), & \text { se } 0 \leq x<\frac{1}{2} \\\ \frac{1}{k+1}, & \text { se } \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text { caso contrário } \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes f(x) definida em \mathbb{R} e pergunta para quais valores de k\in\mathbb{R} essa função é uma densidade de probabilidade. Informações relevantes fornecidas:
Para 0\le x<\tfrac{1}{2} vale f(x)=k\left(1-x^{2}\right).
Para \tfrac{1}{2}\le x\le 1 vale f(x)=\dfrac{1}{k+1}.
Para x fora de [0,1] vale f(x)=0.
As perguntas implícitas são: (1) quais restrições k precisa satisfazer para que f(x)\ge 0 para todo x (condição de não-negatividade); (2) quais restrições k precisa satisfazer para que \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1 (condição de normalização).
Passo 2
Condição de não-negatividade: para ser densidade, precisamos ter f(x)\ge 0 para todo x.
Para x\notin[0,1], f(x)=0 já está ok.
Para 0\le x<\tfrac{1}{2} temos f(x)=k(1-x^{2}). Note que para 0\le x<\tfrac{1}{2} temos 1-x^{2}>0 (porque x^{2}<\tfrac{1}{4}), então o sinal de f(x) nessa região é o mesmo sinal de k. Assim, para garantir f(x)\ge 0 nessa parte precisamos de
k\ge 0.
Para \tfrac{1}{2}\le x\le 1 temos f(x)=\dfrac{1}{k+1}. Para essa fração ser bem definida e não-negativa é necessário que o denominador seja positivo:
k+1>0 \quad\Rightarrow\quad k>-1.
Combinar as duas condições (k\ge 0 e k>-1) dá, de fato,
k\ge 0.
Passo 3
Condição de normalização: calcular \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx e impor que seja 1. Como f(x)=0 fora de [0,1], isso equivale a integrar em [0,1] e somar as duas partes:
Aqui \dfrac{1}{k+1} é constante em x, portanto a integral é essa constante vezes a medida do intervalo [1/2,1], que tem comprimento \tfrac{1}{2}. Assim
Da análise de não-negatividade do Passo 2 temos que aceitar apenas k\ge 0. Das duas raízes acima, uma é positiva e outra é negativa:
k_{1}=\dfrac{13+\sqrt{697}}{22}>0.
k_{2}=\dfrac{13-\sqrt{697}}{22}<0 (pois \sqrt{697}\approx 26,38, logo 13-\sqrt{697}<0).
Assim descartamos a raiz negativa. Além disso k\neq -1 não é problema aqui porque a raiz positiva é muito diferente de -1.
Passo 8
Conclusão: o único valor de k\in\mathbb{R} que satisfaz ambas as condições (não-negatividade em todo \mathbb{R} e integral total igual a 1) é
k=\frac{13+\sqrt{697}}{22}.
Como checagem numérica rápida, \sqrt{697}\approx 26{,}381, então
k\approx \frac{13+26{,}381}{22}\approx 1{,}79095,
que é positivo e satisfaz as condições anteriores.