Para que valores de k \in \mathbb{R}, a função abaixo representa uma densidade de probabilidade:
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} k\left(1-x^{2}\right), & \text { se } 0 \leq x<\frac{1}{2} \\\ \frac{1}{k+1}, & \text { se } \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text { caso contrário } \end{array}\right.á

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes f(x) definida em \mathbb{R} e pergunta para quais valores de k\in\mathbb{R} essa função é uma densidade de probabilidade. Informações relevantes fornecidas:
  • Para 0\le x<\tfrac{1}{2} vale f(x)=k\left(1-x^{2}\right).
  • Para \tfrac{1}{2}\le x\le 1 vale f(x)=\dfrac{1}{k+1}.
  • Para x fora de [0,1] vale f(x)=0.
    As perguntas implícitas são: (1) quais restrições k precisa satisfazer para que f(x)\ge 0 para todo x (condição de não-negatividade); (2) quais restrições k precisa satisfazer para que \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1 (condição de normalização).

Passo 2

Condição de não-negatividade: para ser densidade, precisamos ter f(x)\ge 0 para todo x.
  • Para x\notin[0,1], f(x)=0 já está ok.
  • Para 0\le x<\tfrac{1}{2} temos f(x)=k(1-x^{2}). Note que para 0\le x<\tfrac{1}{2} temos 1-x^{2}>0 (porque x^{2}<\tfrac{1}{4}), então o sinal de f(x) nessa região é o mesmo sinal de k. Assim, para garantir f(x)\ge 0 nessa parte precisamos de
k\ge 0.
  • Para \tfrac{1}{2}\le x\le 1 temos f(x)=\dfrac{1}{k+1}. Para essa fração ser bem definida e não-negativa é necessário que o denominador seja positivo:
k+1>0 \quad\Rightarrow\quad k>-1.
Combinar as duas condições ( k\ge 0 e k>-1) dá, de fato,
k\ge 0.

Passo 3

Condição de normalização: calcular \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx e impor que seja 1. Como f(x)=0 fora de [0,1], isso equivale a integrar em [0,1] e somar as duas partes:
\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \int_{0}^{1/2} k(1-x^{2})\,dx \;+\; \int_{1/2}^{1} \frac{1}{k+1}\,dx = 1.
Agora vamos calcular cada integral com calma.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{0}^{1/2} k(1-x^{2})\,dx.
  • A primitiva de 1-x^{2} é x-\dfrac{x^{3}}{3} (pois a derivada de x-\dfrac{x^{3}}{3} é 1-x^{2}).
  • Então
\int_{0}^{1/2} k(1-x^{2})\,dx = k\left[\;x-\frac{x^{3}}{3}\;\right]_{0}^{1/2}.
Agora avalio no intervalo: para x=\tfrac{1}{2} temos
x-\frac{x^{3}}{3}=\frac{1}{2}-\frac{(1/2)^{3}}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1/8}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{24}=\frac{12}{24}-\frac{1}{24}=\frac{11}{24}.
Para x=0 a expressão é 0. Logo
\int_{0}^{1/2} k(1-x^{2})\,dx = k\cdot\frac{11}{24}=\frac{11k}{24}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{1/2}^{1} \frac{1}{k+1}\,dx.
  • Aqui \dfrac{1}{k+1} é constante em x, portanto a integral é essa constante vezes a medida do intervalo [1/2,1], que tem comprimento \tfrac{1}{2}. Assim
\int_{1/2}^{1} \frac{1}{k+1}\,dx = \frac{1}{k+1}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2(k+1)}.

Passo 6

Juntar as duas integrais e impor normalização:
\frac{11k}{24}+\frac{1}{2(k+1)}=1.
Vamos resolver essa equação para k. Multiplicando ambos os lados por 24(k+1) para eliminar denominadores:
24(k+1)\cdot\frac{11k}{24} + 24(k+1)\cdot\frac{1}{2(k+1)} = 24(k+1).
Isso simplifica para
11k(k+1) + 12 = 24(k+1).
Expandindo e rearranjando para formar uma quadrática:
11k^{2}+11k+12 = 24k+24
11k^{2}+11k+12-24k-24=0
11k^{2}-13k-12=0.

Passo 7

Resolver a quadrática \;11k^{2}-13k-12=0 usando a fórmula de Bhaskara. A fórmula diz que as raízes de ak^{2}+bk+c=0 são
k=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=11, b=-13 e c=-12. O discriminante é
\Delta = (-13)^{2}-4\cdot 11\cdot(-12) = 169 + 528 = 697.
Portanto as raízes são
k=\frac{13\pm\sqrt{697}}{22}.
Da análise de não-negatividade do Passo 2 temos que aceitar apenas k\ge 0. Das duas raízes acima, uma é positiva e outra é negativa:
  • k_{1}=\dfrac{13+\sqrt{697}}{22}>0.
  • k_{2}=\dfrac{13-\sqrt{697}}{22}<0 (pois \sqrt{697}\approx 26,38, logo 13-\sqrt{697}<0).
    Assim descartamos a raiz negativa. Além disso k\neq -1 não é problema aqui porque a raiz positiva é muito diferente de -1.

Passo 8

Conclusão: o único valor de k\in\mathbb{R} que satisfaz ambas as condições (não-negatividade em todo \mathbb{R} e integral total igual a 1) é
k=\frac{13+\sqrt{697}}{22}.
Como checagem numérica rápida, \sqrt{697}\approx 26{,}381, então
k\approx \frac{13+26{,}381}{22}\approx 1{,}79095,
que é positivo e satisfaz as condições anteriores.

Resposta

\displaystyle k=\frac{13+\sqrt{697}}{22}

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