Determine se a função
é par, ímpar ou nenhum dos dois. Use a simetria para esboçar o gráfico.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos disponível:
- Pede: determinar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas e, usando a simetria correspondente, esboçar o gráfico.
- A função dada é
. - Informação implícita importante: o domínio natural de
é (não está definida em ).
Passo 2
Definições e condição necessária para aplicar essas definições (aula rápida e calma).
- Definição de função par:
é par se, para todo no domínio, valer
Geometricamente, isso significa simetria em relação ao eixo
(espelho em
).
- Definição de função ímpar:
é ímpar se, para todo no domínio, valer
Geometricamente, isso significa simetria em relação à origem (rotação de
em torno da origem).
- Observação importante: para usar essas definições, o domínio precisa ser simétrico em relação a
. Aqui o domínio é , que é simétrico (se está no domínio, também está). Logo, podemos aplicar as definições.
Passo 3
Avaliação direta de
(passo a passo algébrico, sem pular etapas).
Queremos calcular
a partir da expressão
.
- Primeiro escrevemos a função em
:
-
Agora use a propriedade de potência:
. -
Calcule
. Como e , obtemos
- Substituindo na fração:
- Finalmente, reconhecendo
, temos
Passo 4
Conclusão lógica sobre paridade, com justificativa curta e motivadora.
- Encontramos que, para todo
no domínio, . - Pela definição do Passo 2, isso significa que
é ímpar. - Ótimo — já resolvemos a classificação! (Respira fundo, tamo indo bem.)
Passo 5
Propriedades do gráfico que ajudam no esboço — como a simetria guia o desenho.
-
Simetria: sendo ímpar, o ramo para
é exatamente a imagem do ramo para por rotação de em torno da origem. Em termos práticos: desenhe primeiro o ramo em e depois gire-o para obter o ramo em . -
Assimptotas:
- Vertical em
(a função explode em ao se aproximar de e em ao se aproximar de ). - Horizontal em
quando (a função tende a por ambos os lados).
- Vertical em
-
Comportamento nos extremos (limites):
- Pontos de referência fáceis para desenhar (pegue-os para plotar):
- Monotonicidade simples: derivada
, que é negativa para todo , então em cada ramo e a função é monótona decrescente (isto ajuda a traçar sem oscilações).
Passo 6
Instruções práticas para esboçar (passo a passo que dá pra fazer rapidinho na prova):
- Desenhe os eixos e marque a linha pontilhada vertical
e horizontal . - No quadrante
: - Marque
e . - Trace uma curva que sai de
perto de , passa por esses pontos e decresce suavemente em direção a quando .
- Marque
- Rode essa curva
em torno da origem para obter o ramo em : ele sai de perto de , passa por e se aproxima de por baixo quando . - Verifique visualmente a simetria: cada ponto
no ramo direito corresponde a no ramo esquerdo.
Resposta
Ímpar.
Esboço: ramo para decrescendo de
em
para
em
(ex.:
); ramo para
obtido por rotação de
(simetria ímpar); assimptotas
(vertical) e
(horizontal).
Esboço: ramo para