Determine se a função f é par, ímpar ou nenhum dos dois. Use a simetria para esboçar o gráfico.
f(x)=x^{-3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos disponível:
  • Pede: determinar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas e, usando a simetria correspondente, esboçar o gráfico.
  • A função dada é f(x)=x^{-3}.
  • Informação implícita importante: o domínio natural de f é \mathbb{R}\setminus\{0\} (não está definida em x=0).

Passo 2

Definições e condição necessária para aplicar essas definições (aula rápida e calma).
  • Definição de função par: f é par se, para todo x no domínio, valer
f(-x)=f(x).
Geometricamente, isso significa simetria em relação ao eixo y (espelho em y).
  • Definição de função ímpar: f é ímpar se, para todo x no domínio, valer
f(-x)=-f(x).
Geometricamente, isso significa simetria em relação à origem (rotação de 180^\circ em torno da origem).
  • Observação importante: para usar essas definições, o domínio precisa ser simétrico em relação a 0. Aqui o domínio é \mathbb{R}\setminus\{0\}, que é simétrico (se x está no domínio, -x também está). Logo, podemos aplicar as definições.

Passo 3

Avaliação direta de f(-x) (passo a passo algébrico, sem pular etapas).
Queremos calcular f(-x) a partir da expressão f(x)=x^{-3}.
  • Primeiro escrevemos a função em -x:
f(-x)=(-x)^{-3}.
  • Agora use a propriedade de potência: (-x)^{-3} = \dfrac{1}{(-x)^3}.
  • Calcule (-x)^3. Como (-x)^3 = (-1)^3 x^3 e (-1)^3=-1, obtemos
(-x)^3 = -x^3.
  • Substituindo na fração:
f(-x)=\dfrac{1}{-x^3} = -\dfrac{1}{x^3}.
  • Finalmente, reconhecendo \dfrac{1}{x^3}=x^{-3}=f(x), temos
f(-x)=-f(x).

Passo 4

Conclusão lógica sobre paridade, com justificativa curta e motivadora.
  • Encontramos que, para todo x no domínio, f(-x)=-f(x).
  • Pela definição do Passo 2, isso significa que f é ímpar.
  • Ótimo — já resolvemos a classificação! (Respira fundo, tamo indo bem.)

Passo 5

Propriedades do gráfico que ajudam no esboço — como a simetria guia o desenho.
  • Simetria: sendo ímpar, o ramo para x<0 é exatamente a imagem do ramo para x>0 por rotação de 180^\circ em torno da origem. Em termos práticos: desenhe primeiro o ramo em x>0 e depois gire-o 180^\circ para obter o ramo em x<0.
  • Assimptotas:
    • Vertical em x=0 (a função explode em +\infty ao se aproximar de 0^+ e em -\infty ao se aproximar de 0^-).
    • Horizontal em y=0 quando |x|\to\infty (a função tende a 0 por ambos os lados).
  • Comportamento nos extremos (limites):
    \lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^-} f(x)=-\infty,
\lim_{x\to +\infty} f(x)=0^+,\qquad \lim_{x\to -\infty} f(x)=0^-.
  • Pontos de referência fáceis para desenhar (pegue-os para plotar): f(1)=1,\qquad f(2)=\tfrac{1}{8},
f(-1)=-1,\qquad f(-2)=-\tfrac{1}{8}.
  • Monotonicidade simples: derivada f'(x)=-3x^{-4}, que é negativa para todo x\neq 0, então em cada ramo (-\infty,0) e (0,\infty) a função é monótona decrescente (isto ajuda a traçar sem oscilações).

Passo 6

Instruções práticas para esboçar (passo a passo que dá pra fazer rapidinho na prova):
  1. Desenhe os eixos e marque a linha pontilhada vertical x=0 e horizontal y=0.
  2. No quadrante x>0:
    • Marque (1,1) e (2,\tfrac{1}{8}).
    • Trace uma curva que sai de +\infty perto de x=0^+, passa por esses pontos e decresce suavemente em direção a y=0 quando x\to+\infty.
  3. Rode essa curva 180^\circ em torno da origem para obter o ramo em x<0: ele sai de -\infty perto de x=0^-, passa por (-1,-1) e se aproxima de y=0 por baixo quando x\to -\infty.
  4. Verifique visualmente a simetria: cada ponto (a,b) no ramo direito corresponde a (-a,-b) no ramo esquerdo.

Resposta

Ímpar.
Esboço: ramo para x>0 decrescendo de +\infty em 0^+ para 0^+ em +\infty (ex.: f(1)=1,f(2)=\tfrac{1}{8}); ramo para x<0 obtido por rotação de 180^\circ (simetria ímpar); assimptotas x=0 (vertical) e y=0 (horizontal).

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