Encontre o domínio da função:
h(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2}-5 x}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
h(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2}-5 x}}.
Informações dadas:
  • A função está definida em termos de x real.
  • O denominador é \sqrt[4]{x^{2}-5 x} (a raiz quarta do polinômio x^{2}-5x).
  • A pergunta é: para quais valores de x essa expressão faz sentido como número real (ou seja, quais x pertencem ao domínio)?

Passo 2

Entendimento das restrições que aparecem na expressão (a “aula” rápida do porquê dessas regras).
  • Regra 1 (raiz de índice par): para \sqrt[4]{\cdot} (índice 4, que é par) o radicando precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja, para \sqrt[4]{A} faz sentido em números reais é necessário A\ge 0.
  • Regra 2 (denominador): a expressão \dfrac{1}{B} exige B\neq 0 porque divisão por zero é indefinida.
Aplicando as duas regras ao nosso caso: o radicando é x^{2}-5x. Pela Regra 1 precisamos de
x^{2}-5x \ge 0,
mas pela Regra 2 não podemos ter a raiz igual a zero (pois isso tornaria o denominador zero). Como a raiz quarta de zero é zero, devemos excluir esse caso. Assim a condição combinada é
x^{2}-5x > 0.

Passo 3

Transformar a condição em uma forma mais simples para resolver:
x^{2}-5x > 0.
Fatorando o polinômio obtemos
x^{2}-5x = x(x-5),
logo a desigualdade fica
x(x-5) > 0.

Passo 4

Resolver a desigualdade x(x-5)>0 por análise de sinais (método padrão).
  • Identificar as raízes da igualdade associada x(x-5)=0: são x=0 e x=5. Essas raízes dividem a reta em três intervalos: (-\infty,0), (0,5) e (5,\infty).
  • Em cada intervalo o sinal de x e de (x-5) é constante, então o sinal do produto também é constante. Testar um valor representante de cada intervalo:
    • Para x<0 (por exemplo x=-1): x é negativo e x-5 é negativo, produto de dois negativos é positivo. Logo em (-\infty,0) temos x(x-5)>0.
    • Para 0<x<5 (por exemplo x=2): x é positivo e x-5 é negativo, produto é negativo. Logo em (0,5) temos x(x-5)<0.
    • Para x>5 (por exemplo x=6): x é positivo e x-5 é positivo, produto é positivo. Logo em (5,\infty) temos x(x-5)>0.
Portanto a solução da desigualdade é
x\in(-\infty,0)\cup(5,\infty).

Passo 5

Verificações finais e observações (para a prova: sempre checar extremos e testar pontos).
  • Nos pontos x=0 e x=5 o radicando é zero ( x^{2}-5x=0), portanto \sqrt[4]{x^{2}-5x}=0 e o denominador seria zero — então esses pontos são excluídos do domínio.
  • Para um x em (-\infty,0)\cup(5,\infty) o radicando é estritamente positivo, a raiz quarta existe (é um número real positivo) e o denominador não é zero, portanto h(x) está bem definido.
  • Exemplos rápidos: \,h(-1)=1/\sqrt[4]{6} está definido; \,h(2)=1/\sqrt[4]{-6} não está definido (radicando negativo).

Resposta

(-\infty,0)\cup(5,\infty)

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