Encontre o domínio da função:
Passo 1
O enunciado pede o domínio da função
Informações dadas:
- A função está definida em termos de
real. - O denominador é
(a raiz quarta do polinômio ). - A pergunta é: para quais valores de
essa expressão faz sentido como número real (ou seja, quais pertencem ao domínio)?
Passo 2
Entendimento das restrições que aparecem na expressão (a “aula” rápida do porquê dessas regras).
- Regra 1 (raiz de índice par): para
(índice 4, que é par) o radicando precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja, para faz sentido em números reais é necessário . - Regra 2 (denominador): a expressão
exige porque divisão por zero é indefinida.
Aplicando as duas regras ao nosso caso: o radicando é
. Pela Regra 1 precisamos de
mas pela Regra 2 não podemos ter a raiz igual a zero (pois isso tornaria o denominador zero). Como a raiz quarta de zero é zero, devemos excluir esse caso. Assim a condição combinada é
Passo 3
Transformar a condição em uma forma mais simples para resolver:
Fatorando o polinômio obtemos
logo a desigualdade fica
Passo 4
Resolver a desigualdade
por análise de sinais (método padrão).
-
Identificar as raízes da igualdade associada
: são e . Essas raízes dividem a reta em três intervalos: , e . -
Em cada intervalo o sinal de
e de é constante, então o sinal do produto também é constante. Testar um valor representante de cada intervalo: - Para
(por exemplo ): é negativo e é negativo, produto de dois negativos é positivo. Logo em temos . - Para
(por exemplo ): é positivo e é negativo, produto é negativo. Logo em temos . - Para
(por exemplo ): é positivo e é positivo, produto é positivo. Logo em temos .
- Para
Portanto a solução da desigualdade é
Passo 5
Verificações finais e observações (para a prova: sempre checar extremos e testar pontos).
- Nos pontos
e o radicando é zero ( ), portanto e o denominador seria zero — então esses pontos são excluídos do domínio. - Para um
em o radicando é estritamente positivo, a raiz quarta existe (é um número real positivo) e o denominador não é zero, portanto está bem definido. - Exemplos rápidos:
está definido; não está definido (radicando negativo).