Resolva as EDOs e/ou PVI(o) (2 x-y+4) d y+(x-2 y+5) d x=0, y(0)=2
R.: x-y+3=(x+y-1)^3

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 com M = x - 2y + 5, N = 2x - y + 4 e condição inicial y(0)=2. Vamos usar exatidão e fator integrante para achar a solução implícita.

Passo 2

Testamos exatidão: partial M/partial y = -2 e partial N/partial x = 2. Como não coincidem, a equação não é exata. Precisamos então de um fator integrante dependente de u = x + y + c.

Passo 3

Supondo mu = u^n, a condição de exatidão para M̃=mu M e Ñ=mu N leva a mu'(u),(M-N)=4,mu(u). Note que M-N = -(x+y-1) = -u quando escolhemos c=-1. Então mu'/mu = n/u -n = 4, isto é n=-4. Logo mu = (x+y-1)^-4.

Passo 4

Multiplicando a EDO original por mu fica exata:
M̃ = (x-2y+5)(x+y-1)^-4,
Ñ = (2x-y+4)(x+y-1)^-4
Existe então um potencial psi(x,y) tal que psix = M̃ e psiy = Ñ.

Passo 5

Integramos psix em relação a x. Com a substituição u=x+y-1 e du=dx obtemos
psi = integral (x-2y+5)u^-4,dx = -tfrac12 u^-2 + (y-2)u^-3 + h(y)
Diferenciando em y e igualando a resulta h'(y)=0, logo h é constante.

Passo 6

A solução implícita geral é
-tfrac12(x+y-1)^-2 + (y-2)(x+y-1)^-3 = C
Multiplicando ambos os lados por -2(x+y-1)^3) chega-se a
x - y + 3 = C'(x+y-1)^3
Usando y(0)=2 1=C', e portanto a solução que satisfaz a condição inicial é obtida.

Resposta

x - y + 3 = (x + y - 1)^3

Exercícios relacionados