Resolva as EDOs e/ou PVI(o)
R.:
R.:
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem na forma
com
,
e condição inicial
. Vamos usar exatidão e fator integrante para achar a solução implícita.
Passo 2
Testamos exatidão:
e
. Como não coincidem, a equação não é exata. Precisamos então de um fator integrante dependente de
.
Passo 3
Supondo
, a condição de exatidão para
e
leva a
. Note que
quando escolhemos
. Então
dá
, isto é
. Logo
.
Passo 4
Multiplicando a EDO original por
fica exata:
Existe então um potencial
tal que
e
.
Passo 5
Integramos
em relação a
. Com a substituição
e
obtemos
Diferenciando em
e igualando a
resulta
, logo
é constante.
Passo 6
A solução implícita geral é
Multiplicando ambos os lados por
chega-se a
Usando
dá
, e portanto a solução que satisfaz a condição inicial é obtida.