Minimize f(x, y)=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para minimizar a função f(x,y)=x^2+y^2. O conteúdo é otimização sem restrições para funções de duas variáveis, e vamos usar o gradiente para encontrar pontos críticos e a Hessiana para classificar o tipo de extremo.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
$$\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr)=(2x,2y).
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr)=(2x,2y) íáçõ2x=0,\quad 2y=0$$
Logo, o único ponto crítico é nabla f=0.

Passo 3

Construímos a matriz Hessiana de f:
$$\nabla^2f(x,y)= nabla^2f(x,y)=2 & 00 & 2 .
$$
Seus autovalores são 2 e 2, ambos positivos, logo a Hessiana é definida positiva.

Passo 4

Como a Hessiana é definida positiva em (0,0), esse ponto crítico é um mínimo local. Além disso, f(x,y)=x^2+y^2 tende a +infty quando |(x,y)|to+infty, então esse mínimo é global. Avaliando em (0,0) temos f(0,0)=0.

Resposta

O valor mínimo de f é 0, atingido em (0,0).

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