Minimize
Passo 1
O enunciado pede para minimizar a função
. O conteúdo é otimização sem restrições para funções de duas variáveis, e vamos usar o gradiente para encontrar pontos críticos e a Hessiana para classificar o tipo de extremo.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
$$\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr)=(2x,2y).
Logo, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Construímos a matriz Hessiana de
:
$$\nabla^2f(x,y)=
.
$$
Seus autovalores são e
, ambos positivos, logo a Hessiana é definida positiva.
Seus autovalores são
Passo 4
Como a Hessiana é definida positiva em
, esse ponto crítico é um mínimo local. Além disso,
tende a
quando
, então esse mínimo é global. Avaliando em
temos
.
Resposta
O valor mínimo de
é
, atingido em
.