Determine uma função
tal que
e depois calcule
sobre a curva
dada.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a curva parametrizada
Queremos (1) achar uma função escalar
tal que
(isto é,
conservativo) e (2) calcular
usando o teorema fundamental para integrais de campos conservativos.
usando o teorema fundamental para integrais de campos conservativos.
Passo 2
Verificamos consistência das derivadas parciais para confirmar que
é conservativo:
Como todas as igualdades batem,
é realmente gradiente de alguma
.
Passo 3
Para achar
, integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Impondo
, temos
Em seguida, impondo
,
Podemos então escolher a constante zero, ficando
Passo 5
Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
Se a curva for percorrida de
até
, então
logo
Resposta
onde
varia de
até
.