Determine uma função f tal que F=nabla f e depois calcule integralC F cdot d r sobre a curva C dada.
F(x, y, z)=y^2 cos z i+2 x y cos z j-x y^2 sen z k, C: r(t)=t^2 i+sen t j+t k

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z) = y^2cos z,i + 2xycos z,j - xy^2sin z,k
e a curva parametrizada
r(t) = l(t^2,,sin t,,tr)
Queremos (1) achar uma função escalar f tal que nabla f = F (isto é, F conservativo) e (2) calcular
integralCFcdot dr
usando o teorema fundamental para integrais de campos conservativos.

Passo 2

Verificamos consistência das derivadas parciais para confirmar que F é conservativo:
partialpartial yl(y^2cos zr) =2ycos z e partialpartial xl(2xycos zr) =2ycos z,
partialpartial zl(y^2cos zr) =-y^2sin z e partialpartial xl(-xy^2sin zr) =-y^2sin z,
partialpartial zl(2xycos zr) =-2xysin z e partialpartial yl(-xy^2sin zr) =-2xysin z
Como todas as igualdades batem, F é realmente gradiente de alguma f.

Passo 3

Para achar f(x,y,z), integramos F1=y^2cos z em relação a x:
f(x,y,z)=integral y^2cos z,dx =xy^2cos z + g(y,z),
onde g é função a determinar.

Passo 4

Impondo partial f/partial y = F2=2xycos z, temos
partialpartial yl(xy^2cos z + g(y,z)r) =2xycos z + partial gpartial y stackrel!=2xycos z ;Longrightarrow; partial gpartial y=0 ;Longrightarrow; g=g(z)
Em seguida, impondo partial f/partial z = F3=-xy^2sin z,
partialpartial zl(xy^2cos z + g(z)r) =-xy^2sin z + g'(z) stackrel!=-xy^2sin z ;Longrightarrow; g'(z)=0 ;Longrightarrow; g=constante
Podemos então escolher a constante zero, ficando
boxedf(x,y,z)=x,y^2cos z

Passo 5

Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
integralCFcdot dr = fl(r(tfinal)r) - fl(r(tinicial)r)
Se a curva for percorrida de t=a até t=b, então
r(a)=(a^2,sin a,a), r(b)=(b^2,sin b,b),
logo
integralCFcdot dr = l[b^2,sin^2bcos br] - l[a^2,sin^2acos ar]

Resposta

f(x,y,z)=x,y^2cos z
integralCFcdot dr = b^2sin^2bcos b ;-; a^2sin^2acos a,
onde t varia de a até b.

Exercícios relacionados