Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime+y=tg t, 0<t<pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = tan t, 0<t<tfracpi2
O conteúdo aqui é a resolução de EDO linear não-homogênea usando variação de parâmetros. Vamos precisar primeiro das soluções da homogênea associada.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + y = 0
A característica é r^2+1=0, com raízes r=pm i. Logo as duas soluções lineares independentes são
y1(t)=cos t, y2(t)=sin t
A solução geral da homogênea é
yh = C1cos t + C2sin t

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, calculamos o Wronskiano
W(t)=cos t & sin t -sin t & cos t =cos^2t+sin^2t=1
As fórmulas são
u1'(t)=-y2(t),f(t)W(t), u2'(t)=y1(t),f(t)W(t),
onde f(t)=tan t. Vamos achar u1 e u2.

Passo 4

Calculamos primeiro
u1'(t)=-y2(t),tan t=-sin tcdottan t =-sin^2tcos t =-l(sec t-cos tr)
Logo
u1(t)=-integrall(sec t-cos tr),dt =-l(integralsec t,dt-integralcos t,dtr) =-l(ln|sec t+tan t|-sin tr)
Em seguida
u2'(t)=y1(t),tan t=cos tcdottan t =sin t,
u2(t)=integralsin t,dt=-cos t

Passo 5

A particular é
yp = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t)
Substituindo:
yp =-l(ln|sec t+tan t|-sin tr)cos t +(-cos t)sin t =-cos tln|sec t+tan t| +cos t,sin t -sin t,cos t =-cos tln|sec t+tan t|

Passo 6

Portanto a solução geral da não-homogênea é
y(t)=yh+yp =C1cos t + C2sin t -cos tlnl|sec t+tan tr|

Resposta

boxedy(t)=C1cos t + C2sin t -cos tln!l|sec t+tan tr|, 0<t<tfracpi2

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