Determine uma função f tal que F=nabla f e use-a para calcular integralc F . u r sobre a curva C dada.
F(x, y, z)=y^2 cos (z) imath+2 xy cos (z) jmath-xy^2 sen(z) k, c: r(t)=t^2 imath+sent jmath+t k, 0 <= t <= pi. Resp: 0

Passo 1

O enunciado pede para achar uma função potencial f tal que ∇f=F e usar o teorema fundamental das integrais de linha para calcular integralCFcdot dr. O conteúdo aqui é campo conservativo, potencial escalar e o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Para encontrar f, integramos a componente x de F em relação a x:
partial fpartial x=y^2cos(z) implies f(x,y,z)=integral y^2cos(z),dx = x,y^2cos(z)+h(y,z),
onde h(y,z) é uma função a determinar.

Passo 3

Agora comparamos a derivada parcial de f em relação a y com a componente y de F:
partial fpartial y=2x ycos(z)+partial hpartial y stackrel!=2x ycos(z)
Logo partial h/partial y=0, ou seja, h=h(z).

Passo 4

Finalmente comparamos a derivada parcial de f em relação a z com a componente z de F:
partial fpartial z=-x y^2sin(z)+h'(z) stackrel!=-x y^2sin(z)
Isso dá h'(z)=0, logo h(z) é constante. Podemos tomar h=0 e escrever
f(x,y,z)=x,y^2cos(z)

Passo 5

Para calcular a integral de linha usamos
integralCFcdot dr=fl(r(pi)r)-fl(r(0)r)
Temos
r(0)=(0,sin0,0)=(0,0,0), f(0,0,0)=0,
r(pi)=(pi^2,sinpi,pi)=(pi^2,0,pi), f(pi^2,0,pi)=pi^2cdot0^2cospi=0

Resposta

0

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