Exercício 13.3. Encontre a solução geral das equações:
y^prime prime prime+y=0

Passo 1

Na moral, estamos com a EDO linear homogênea de terceira ordem
A equação é
y''' + y = 0
Então o conteúdo aqui é ‘equações diferenciais com coeficientes constantes’ e vamos precisar do método da equação característica.

Passo 2

O lance é supor uma solução do tipo y=e^rx. Substituindo na EDO, a gente troca y''' por r^3e^rx e fica
r^3e^rx + e^rx = 0
Como e^rxneq0, sobra a equação característica
r^3 + 1 = 0

Passo 3

Agora assuma a fatoração clássica de soma de cubos:
r^3 + 1 = (r + 1)(r^2 - r + 1) = 0
Dessa forma as raízes são
r1 = -1,
r2,3 = 1 pm iraiz32

Passo 4

Como toda raiz real gera termo e^rx e toda raiz complexa alphapm ibeta gera e^alpha x(C2cos(beta x)+C3sin(beta x)), concluímos que a solução geral é a combinação:

Passo 5

Resposta

y(x)=C1e^-x+e^x/2l(C2costfracraiz32x + C3sintfracraiz32xr)

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