Exercício 13.3. Encontre a solução geral das equações:
y^prime prime prime-13 y^prime prime+12 y^prime=0

Passo 1

O exercício pede para encontrar a solução geral da EDO linear homogênea de 3ª ordem com coeficientes constantes:
y''' - 13y'' + 12y' = 0
Para resolver esse tipo de EDO, a gente monta a equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = e^rx e substituímos na EDO. Isso gera a equação característica
r^3 - 13r^2 + 12r = 0

Passo 3

Fatoramos o polinômio na equação característica:
r(r^2 - 13r + 12) = 0
Em seguida, fatoramos ainda mais o termo quadrático:
r^2 -13r +12 = (r-1)(r-12)
Logo, as raízes são r1 = 0, r2 = 1 e r3 = 12.

Passo 4

Para EDO homogênea com raízes distintas r1,r2,r3, a solução geral é dada pela combinação linear dos exponenciais correspondentes a cada raiz:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x + C3 e^r3 x
Basta agora substituir as raízes que encontramos.

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^x + C3 e^12x

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