Exercício 13.3. Encontre a solução geral das equações:
y^(4)-3 y^prime prime=0

Passo 1

A questão dá a equação diferencial linear de coeficientes constantes de quarta ordem y^(4) - 3y'' = 0. O conteúdo aqui é resolver equações homogêneas usando a equação característica.

Passo 2

Para transformar a EDO em uma equação algébrica, assumimos uma solução do tipo y = e^r x. Substituindo na equação, obtemos a característica:
r^4 - 3r^2 = 0

Passo 3

Fatorando a expressão, temos:
r^2 (r^2 - 3) = 0

Passo 4

Isso dá as raízes: r^2 = 0 (com multiplicidade 2) e r^2 = 3. Logo, raízes r = 0 (dupla), r = raiz3 e r = -raiz3.

Passo 5

Para cada raiz distinta ri geramos e^ri x. Para a raiz r=0 de multiplicidade 2, usamos as soluções e^0x=1 e x e^0x=x. Portanto, a solução geral é combinação linear dessas funções.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1 + C2 x + C3 e^raiz3,x + C4 e^-raiz3,x

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