Determine uma função f tal que F=nabla f e use-a para calcular integralc F . u r sobre a curva C dada.
F(x, y, z)=y^2 cos (z) imath+2 x y cos (z) jmath-x^2 sen(z) k, c: r(t)=t^2 imath+sen t jmath+t k, 0 <= t <= pi. Resp: 0

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar uma função potencial f tal que vec F=nabla f para o campo vec F(x,y,z)=y^2cos(z),vecimath+2xycos(z),vecjmath -x^2sin(z),vec k, e depois usar essa f pra calcular a integral de linha integralCvec Fcdot dvec r na curva vec r(t)=(t^2,sin t, t), 0<= t<=pi. Vamos ver o que precisamos: é conteúdo de campos conservativos, achar potencial e aplicar o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Pra ver se vec F é conservativo, checamos se ele deriva de um potencial. Começamos integrando a componente x:
Integrando fx=y^2cos(z) em relação a x temos
f(x,y,z)=integral y^2cos(z),dx = x,y^2cos(z)+C(y,z)

Passo 3

Agora usamos a componente y:
fy=2xycos(z)+Cy(y,z) stackrel!= 2xycos(z)
Logo Cy=0, ou seja C(y,z)=D(z).

Passo 4

Finalmente, igualamos a derivada em z:
fz=-xy^2sin(z)+D'(z) stackrel!= -x^2sin(z)

Passo 5

Para que isso funcione pra todo (x,y), precisamos de D'(z)=0. Então D(z)=constante e podemos tomar essa constante como zero. Assim
f(x,y,z)=x,y^2cos(z)

Passo 6

Pela definição de integral de linha de um campo conservativo, vale
integralCvec Fcdot dvec r = fl(vec r(pi)r) - fl(vec r(0)r)

Passo 7

Calculando as extremidades:
vec r(0)=(0,0,0)implies f(0,0,0)=0,
vec r(pi)=(pi^2,0,pi)implies f(pi^2,0,pi)=pi^2cdot0^2cos(pi)=0
Portanto a integral vale zero.

Resposta

0

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