São dados uma função
, um vetor unitário
e um real
. Suponhamos que
e
, com
pertençam à curva de nível
. Compare a taxa média se variação de
entre os pontos
e
e entre os pontos
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis f(x,y)=x²+y², dois pontos partindo de (1,1) até o nível f=β>2: um na direção genérica do vetor unitário (a,b) e outro na direção (1/√2,1/√2). Vamos comparar as taxas médias de variação de f nessas duas trajetórias.
Passo 2
A taxa média de variação de f entre (1,1) e um ponto qualquer (x,y) é dada por [f(x,y)−f(1,1)] dividido pela distância entre (1,1) e (x,y). Note que f(1,1)=2 e f(x,y)=β em ambos os casos, então o numerador é sempre β−2.
Passo 3
Para o ponto P=(1+sa,1+sb) temos distância d₁=√[(sa)²+(sb)²]=s·√(a²+b²)=s, já que (a,b) é unitário. Portanto a taxa média nessa direção é
Passo 4
Para o ponto Q=(1+\tfrac{t}{√2},1+\tfrac{t}{√2}) a distância d₂=√[(t/√2)²+(t/√2)²]=t, e a taxa média é
Passo 5
Agora usamos as condições f§=β e f(Q)=β para achar s e t. De f§=β vem
cuja solução positiva é
Passo 6
E de f(Q)=β vem
cuja solução positiva é
Passo 7
Para um vetor (a,b) de projeção positiva sobre ∇f(1,1)=(2,2), temos a+b∈[0,√2], e a função φ(u)=−u+√[u²+(β−2)] é decrescente em u≥0. Logo
Passo 8
Como β−2>0, isso implica
Passo 9
Portanto, a taxa média de variação na direção (a,b) é menor ou igual à taxa média na direção (1/√2,1/√2), com igualdade só se (a,b) for exatamente (1/√2,1/√2).
Resposta
A taxa média de f de (1,1) a (1+sa,1+sb) é
e a taxa média a (1+t/√2,1+t/√2) é
. Como se mostra que
, segue que
.