São dados uma função f(x, y)=x^2+y^2, um vetor unitário (a, b) e um real beta>2. Suponhamos que (1+s a, 1+s b) e (1+traiz2, 1+traiz2), com s, t>0 pertençam à curva de nível f(x, y)=beta. Compare a taxa média se variação de f entre os pontos (1,1) e (1+s a, 1+s b) e entre os pontos (1,1) e (1+traiz2, 1+traiz2).

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis f(x,y)=x²+y², dois pontos partindo de (1,1) até o nível f=β>2: um na direção genérica do vetor unitário (a,b) e outro na direção (1/√2,1/√2). Vamos comparar as taxas médias de variação de f nessas duas trajetórias.

Passo 2

A taxa média de variação de f entre (1,1) e um ponto qualquer (x,y) é dada por [f(x,y)−f(1,1)] dividido pela distância entre (1,1) e (x,y). Note que f(1,1)=2 e f(x,y)=β em ambos os casos, então o numerador é sempre β−2.

Passo 3

Para o ponto P=(1+sa,1+sb) temos distância d₁=√[(sa)²+(sb)²]=s·√(a²+b²)=s, já que (a,b) é unitário. Portanto a taxa média nessa direção é
β−2s

Passo 4

Para o ponto Q=(1+\tfrac{t}{√2},1+\tfrac{t}{√2}) a distância d₂=√[(t/√2)²+(t/√2)²]=t, e a taxa média é
β−2t

Passo 5

Agora usamos as condições f§=β e f(Q)=β para achar s e t. De f§=β vem
(1+sa)^2+(1+sb)^2=β implies s^2+2s(a+b)+(2−β)=0,
cuja solução positiva é
s=- (a+b)+raiz(a+b)^2+(β−2)

Passo 6

E de f(Q)=β vem
2l(1+tfract√2r)^2=β implies t^2+2√2,t+(2−β)=0,
cuja solução positiva é
t=-√2+raizβ

Passo 7

Para um vetor (a,b) de projeção positiva sobre ∇f(1,1)=(2,2), temos a+b∈[0,√2], e a função φ(u)=−u+√[u²+(β−2)] é decrescente em u≥0. Logo
s=φ(a+b)>= φ(√2)=−√2+√β=t

Passo 8

Como β−2>0, isso implica
β−2s<=β−2t

Passo 9

Portanto, a taxa média de variação na direção (a,b) é menor ou igual à taxa média na direção (1/√2,1/√2), com igualdade só se (a,b) for exatamente (1/√2,1/√2).

Resposta

A taxa média de f de (1,1) a (1+sa,1+sb) é tfracβ−2s e a taxa média a (1+t/√2,1+t/√2) é tfracβ−2t. Como se mostra que s>= t>0, segue que tfracβ−2s<=tfracβ−2t.

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