Um fazendeiro deseja cercar um terreno retangular ao longo de um rio, onde ele só precisa cercar três lados (dois lados paralelos ao rio e um perpendicular). Se o fazendeiro tem 120 metros de cerca disponível, qual é a maior área que ele pode cercar?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um fazendeiro que quer cercar um terreno retangular junto ao rio. Como o rio já funciona como uma “cerca” natural, ele só precisa cercar três lados: dois paralelos ao rio e um perpendicular. Ele tem 120 metros de cerca disponível. Nosso objetivo é descobrir qual é a maior área que ele pode cercar com essa quantidade de cerca.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como distribuir essa cerca nos três lados. Vamos chamar o lado perpendicular ao rio de $ x $ metros. Os outros dois lados paralelos ao rio serão iguais e vamos chamar cada um de $ y $ metros.

Passo 3

Como a quantidade total de cerca é 120 metros, podemos montar a seguinte equação:
x + 2y = 120
Isso significa que a soma do lado perpendicular mais duas vezes o lado paralelo deve ser igual a 120 metros.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar a área máxima que o fazendeiro pode cercar. A área $ A $ de um retângulo é dada por:
A
Mas queremos maximizar $ A $, então precisamos expressar $ A $ em função de uma única variável.

Passo 5

Vamos resolver a equação $ x + 2y = 120 $ para $ x $:
x + 2y = 120
Agora, substituímos $ x $ na fórmula da área:
x
x = 120 - 2y

Passo 6

Agora, temos uma função quadrática:
A(y) = -2y^2 + 120y
Para encontrar o valor de $ y $ que maximiza a área, vamos achar o vértice dessa parábola. O vértice de uma função quadrática $ ax^2 + bx + c $ ocorre em:
y
Aqui, $ a = -2 $ e $ b = 120 $.

Passo 7

Aplicando a fórmula do vértice:
y = -1202 times (-2)
y = -120-4
y = 30
Então, o lado paralelo ao rio deve ter 30 metros para maximizar a área.

Passo 8

Agora, encontramos $ y = 30 $. Vamos encontrar $ x $ usando a equação $ x = 120 - 2y $:
y = 30
x
x = 120 - 2y
O lado perpendicular ao rio deve ter 60 metros.

Passo 9

Finalmente, calculamos a área máxima:
A = x times y
A = 60 times 30
A = 1800
A maior área que o fazendeiro pode cercar é de 1800 metros quadrados.

Resposta

A maior área que o fazendeiro pode cercar é de 1800 metros quadrados.

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