Um fazendeiro deseja cercar um terreno retangular ao longo de um rio, onde ele só precisa cercar três lados (dois lados paralelos ao rio e um perpendicular). Se o fazendeiro tem 120 metros de cerca disponível, qual é a maior área que ele pode cercar?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um fazendeiro que quer cercar um terreno retangular junto ao rio. Como o rio já funciona como uma “cerca” natural, ele só precisa cercar três lados: dois paralelos ao rio e um perpendicular. Ele tem 120 metros de cerca disponível. Nosso objetivo é descobrir qual é a maior área que ele pode cercar com essa quantidade de cerca.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como distribuir essa cerca nos três lados. Vamos chamar o lado perpendicular ao rio de $ x $ metros. Os outros dois lados paralelos ao rio serão iguais e vamos chamar cada um de $ y $ metros.
Passo 3
Como a quantidade total de cerca é 120 metros, podemos montar a seguinte equação:
Isso significa que a soma do lado perpendicular mais duas vezes o lado paralelo deve ser igual a 120 metros.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar a área máxima que o fazendeiro pode cercar. A área $ A $ de um retângulo é dada por:
Mas queremos maximizar $ A $, então precisamos expressar $ A $ em função de uma única variável.
Passo 5
Vamos resolver a equação $ x + 2y = 120 $ para $ x $:
Agora, substituímos $ x $ na fórmula da área:
Passo 6
Agora, temos uma função quadrática:
Para encontrar o valor de $ y $ que maximiza a área, vamos achar o vértice dessa parábola. O vértice de uma função quadrática $ ax^2 + bx + c $ ocorre em:
Aqui, $ a = -2 $ e $ b = 120 $.
Passo 7
Aplicando a fórmula do vértice:
Então, o lado paralelo ao rio deve ter 30 metros para maximizar a área.
Passo 8
Agora, encontramos $ y = 30 $. Vamos encontrar $ x $ usando a equação $ x = 120 - 2y $:
O lado perpendicular ao rio deve ter 60 metros.
Passo 9
Finalmente, calculamos a área máxima:
A maior área que o fazendeiro pode cercar é de 1800 metros quadrados.
Resposta
A maior área que o fazendeiro pode cercar é de 1800 metros quadrados.