Enuncie os teoremas das funções implícitas nos casos:
F(x, y)=0;

Passo 1

O enunciado pede para apresentar o Teorema da Função Implícita no caso de uma única equação F(x,y)=0, ou seja, as condições que nos permitem representar y como função de x a partir dessa relação.

Passo 2

Precisamos assumir um ponto base (x₀,y₀) tal que F(x₀,y₀)=0 e exigir que F seja diferenciável em volta desse ponto. Além disso, para garantir que dá para “isolar” y em termos de x, precisamos que a derivada parcial de F em relação a y não zere em (x₀,y₀).

Passo 3

Sob essas hipóteses, o teorema garante que existe uma vizinhança de x₀ onde podemos definir uma função φ(x) de classe C¹ tal que φ(x₀)=y₀ e F(x,φ(x))=0 para todo x nessa vizinhança.

Passo 4

Finalmente, o teorema fornece também a fórmula para o derivado φ′(x), que vem da diferenciação implícita de F(x,φ(x))=0.

Resposta

Teorema da Função Implícita (caso F(x,y)=0):
Seja U ⊆ ℝ² aberto e F: U → ℝ de classe C¹. Suponha que existe (x₀,y₀) ∈ U com
F(x₀,y₀)=0
e que a derivada parcial de F em relação a y satisfaça
partial Fpartial y(x₀,y₀) neq 0
Então existe um intervalo aberto I ⊆ ℝ contendo x₀ e uma função φ: I → ℝ de classe C¹ tais que φ(x₀)=y₀ e
Fl(x,varphi(x)r)=0
para todo x ∈ I. Além disso, a derivada de φ é dada por
varphi'(x)=-Fxl(x,varphi(x)r)Fyl(x,varphi(x)r)
onde usamos as abreviações F_x=∂F/∂x e F_y=∂F/∂y.

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