Determine uma função f tal que F=nabla f e use este fato para calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é fornecida.
(g) F(x, y, z)=sin y i+(x cos y+cos z) j-y sin z k, r(t)=lang<=sin t, t, t+2 trang<=, 0 <= t <= pi2.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma função escalar f tal que F=nabla f para F(x,y,z)=sin y, i+(xcos y+cos z), j- ysin z, k e, em seguida, usar o Teorema Fundamental da Integral de Linha (gradiente) para calcular integralC Fcdot d r, onde C é dado por r(t)=(sin t,,t,,t+2t)=(sin t,,t,,3t), 0<= t<=pi/2.

Passo 2

Para verificar que F é conservativo, comparamos derivadas parciais: F1=sin y, F2=xcos y+cos z, F3=-ysin z. Temos
partial F1partial y=cos y, partial F2partial x=cos y;
partial F2partial z=-sin z, partial F3partial y=-sin z;
partial F1partial z=0, partial F3partial x=0
Como todas coincidem, F é conservativo.

Passo 3

Para achar a potencial f(x,y,z), integramos F1=sin y em relação a x:
f(x,y,z)=integral sin y,dx = xsin y + g(y,z)
Então exigimos
partial fpartial y=xcos y+partial gpartial y=F2=xcos y+cos z
logo partial g/partial y=cos z e
g(y,z)=ycos z + h(z)
Assim
f(x,y,z)=xsin y+ycos z + h(z)
Por fim,
partial fpartial z=-ysin z + h'(z)=F3=-ysin z
implica h'(z)=0, então podemos tomar h(z)=0. Logo
f(x,y,z)=xsin y+ycos z

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental,
integralC Fcdot d r=f( r(tfracpi2))-f( r(0))
Como r(t)=(sin t,,t,,3t), temos
f( r(t))=sin tcdotsin t + tcos(3t)=sin^2t + tcos(3t)

Passo 5

Calculando nos limites,
f( r(tfracpi2))=sin^2(tfracpi2)+(tfracpi2)cos(tfrac3pi2)=1+0=1,
f( r(0))=sin^2(0)+0cdotcos(0)=0
Portanto,
integralC Fcdot d r=1-0=1

Resposta

A função potencial é
f(x,y,z)=xsin y+ycos z
e, pela Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
integralC Fcdot d r=1

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