Determine uma função
tal que
e use este fato para calcular a integral de linha
, onde
é fornecida.
(g)
.
(g)
Passo 1
O enunciado pede para achar uma função escalar f tal que
para
e, em seguida, usar o Teorema Fundamental da Integral de Linha (gradiente) para calcular
, onde
é dado por
,
.
Passo 2
Para verificar que
é conservativo, comparamos derivadas parciais:
,
,
. Temos
Como todas coincidem,
é conservativo.
Passo 3
Para achar a potencial
, integramos
em relação a
:
Então exigimos
logo
e
Assim
Por fim,
implica
, então podemos tomar
. Logo
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental,
Como
, temos
Passo 5
Calculando nos limites,
Portanto,
Resposta
A função potencial é
e, pela Teorema Fundamental das Integrais de Linha,