O que podemos dizer sobre a sequência
-14, 29, -316, ldots ?
O termo geral é (-1)^n n(n+1)^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa sequência: -14, 29, -316, ldots. O termo geral é (-1)^n n(n+1)^2. Hoje, vamos explorar o comportamento dessa sequência usando conceitos de sequências numéricas, limites e teoria de séries. Precisamos entender se essa sequência converge, para onde ela vai, e se tem algum padrão específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o termo geral: (-1)^n n(n+1)^2. Aqui, (-1)^n faz com que os sinais dos termos alternem entre positivo e negativo conforme n aumenta. A fração n(n+1)^2 mostra como os valores numéricos dos termos estão mudando à medida que n cresce.

Passo 3

Vamos simplificar n(n+1)^2. Expandindo o denominador:
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
Então, temos:
nn^2 + 2n + 1
À medida que n fica maior, n^2 domina os termos, então nn^2 + 2n + 1 se aproxima de nn^2 = 1n.

Passo 4

Então, para grandes valores de n, n(n+1)^2 approx 1n. Agora, temos (-1)^n 1n. Sabemos que 1n tende a 0 quando n tende ao infinito. Portanto, a parte numérica da sequência está diminuindo e se aproximando de 0.

Passo 5

Agora, considerando o fator (-1)^n, que alterna os sinais dos termos, temos uma sequência alternada onde os valores estão se aproximando de 0. Segundo o Critério da Sequência Alternada, se os valores absolutos dos termos diminuem monotonamente para 0, a sequência converge.

Passo 6

Vamos verificar se os valores absolutos dos termos realmente diminuem:
|(-1)^n n(n+1)^2| = n(n+1)^2
Conforme vimos, n(n+1)^2 diminui à medida que n aumenta, pois o denominador cresce mais rapidamente que o numerador.

Passo 7

Portanto, pelo Critério da Sequência Alternada, já que os termos estão alternando de sinal e seus valores absolutos estão diminuindo para 0, podemos concluir que a sequência converge.

Resposta

A sequência -14, 29, -316, ldots converge para 0.

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