Beleza, vamos dar uma olhada nessa sequência: . O termo geral é . Hoje, vamos explorar o comportamento dessa sequência usando conceitos de sequências numéricas, limites e teoria de séries. Precisamos entender se essa sequência converge, para onde ela vai, e se tem algum padrão específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o termo geral: . Aqui, faz com que os sinais dos termos alternem entre positivo e negativo conforme aumenta. A fração mostra como os valores numéricos dos termos estão mudando à medida que cresce.
Passo 3
Vamos simplificar . Expandindo o denominador:
Então, temos:
À medida que fica maior, domina os termos, então se aproxima de .
Passo 4
Então, para grandes valores de , . Agora, temos . Sabemos que tende a 0 quando tende ao infinito. Portanto, a parte numérica da sequência está diminuindo e se aproximando de 0.
Passo 5
Agora, considerando o fator , que alterna os sinais dos termos, temos uma sequência alternada onde os valores estão se aproximando de 0. Segundo o Critério da Sequência Alternada, se os valores absolutos dos termos diminuem monotonamente para 0, a sequência converge.
Passo 6
Vamos verificar se os valores absolutos dos termos realmente diminuem:
Conforme vimos, n(n+1)^2 diminui à medida que n aumenta, pois o denominador cresce mais rapidamente que o numerador.
Passo 7
Portanto, pelo Critério da Sequência Alternada, já que os termos estão alternando de sinal e seus valores absolutos estão diminuindo para 0, podemos concluir que a sequência converge.