Determine a função f tal que \int f(x) d x=x^{4}+3 x^{5}-\ln x+c.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a função f tal que
\int f(x)\,dx = x^{4}+3x^{5}-\ln x + c,
onde c é constante de integração. Informações relevantes fornecidas:
  • A primitiva (antiderivada) de f é F(x)=x^{4}+3x^{5}-\ln x + c.
  • A presença de -\ln x indica que estamos trabalhando em x>0 (domínio onde \ln x está definido).

Passo 2

Ideia principal para resolver: se F(x) é uma primitiva de f, então f(x) é a derivada de F. Em notação,
F(x)=\int f(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad f(x)=F'(x).
Logo, basta derivar a função dada F(x)=x^{4}+3x^{5}-\ln x + c.

Passo 3

Lembrete das regras de diferenciação que vamos usar (com explicações simples):
  • Regra do poder (power rule): para um inteiro n, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
  • Regra do fator constante: \dfrac{d}{dx}\big(k\cdot g(x)\big)=k\cdot g'(x) para constante k. Ex.: \dfrac{d}{dx}3x^{5}=3\cdot\dfrac{d}{dx}x^{5}.
  • Derivada do logaritmo natural: \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x} para x>0.
  • Derivada de constante: \dfrac{d}{dx}c=0.

Passo 4

Aplicando a diferenciação termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(x^{4}+3x^{5}-\ln x + c\big) = \frac{d}{dx}x^{4} + \frac{d}{dx}3x^{5} - \frac{d}{dx}\ln x + \frac{d}{dx}c.
Agora calcule cada derivada:
\frac{d}{dx}x^{4}=4x^{3}, \qquad \frac{d}{dx}3x^{5}=3\cdot 5x^{4}=15x^{4}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}c=0.

Passo 5

Somando os resultados obtemos
f(x)=4x^{3}+15x^{4}-\frac{1}{x},
com domínio x>0 (por causa do termo -\ln x na primitiva).

Passo 6

Cheque rápido (opcional, mas bom para confiança): integrar termo a termo f(x):
\int 4x^{3}\,dx = x^{4},\qquad \int 15x^{4}\,dx = 3x^{5},\qquad \int -\frac{1}{x}\,dx = -\ln x,
recuperando exatamente x^{4}+3x^{5}-\ln x + c. Perfeito — é consistente.

Resposta

f(x)=4x^{3}+15x^{4}-\dfrac{1}{x}

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