Determine a função
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a função
tal que
onde
é constante de integração. Informações relevantes fornecidas:
- A primitiva (antiderivada) de
é . - A presença de
indica que estamos trabalhando em (domínio onde está definido).
Passo 2
Ideia principal para resolver: se
é uma primitiva de
, então
é a derivada de
. Em notação,
Logo, basta derivar a função dada
.
Passo 3
Lembrete das regras de diferenciação que vamos usar (com explicações simples):
- Regra do poder (power rule): para um inteiro
, . Ex.: . - Regra do fator constante:
para constante . Ex.: . - Derivada do logaritmo natural:
para . - Derivada de constante:
.
Passo 4
Aplicando a diferenciação termo a termo:
Agora calcule cada derivada:
Passo 5
Somando os resultados obtemos
com domínio
(por causa do termo
na primitiva).
Passo 6
Cheque rápido (opcional, mas bom para confiança): integrar termo a termo
:
recuperando exatamente
. Perfeito — é consistente.