Determine a função f tal que integral f(x) d x=x+15 e^2 x+c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma função $ f $ tal que, ao integrá-la, o resultado seja $ \int f(x) , dx = x + \frac{1}{5} e^{2x} + c $. Isso envolve o cálculo de integrais e derivadas, que são partes do cálculo diferencial e integral. Para resolver, vamos precisar entender como a integral e a derivada estão relacionadas.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a integral de uma função $ f(x) $ em relação a $ x $ nos dá uma antiderivada dessa função. Ou seja, se $ F(x) = \int f(x) , dx $, então $ F(x) $ é uma função cuja derivada é $ f(x) $. Portanto, para encontrar $ f(x) $, basta derivar $ F(x) $.

Passo 3

Vamos identificar o que temos: $ F(x) = x + \frac{1}{5} e^{2x} + c $. A constante $ c $ desaparece quando derivamos, pois a derivada de uma constante é zero. Então, focaremos em derivar $ x + \frac{1}{5} e^{2x} $.

Passo 4

Vamos derivar termo a termo:
  1. A derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1.
  2. Para derivar $ \frac{1}{5} e^{2x} $, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ x $ é $ e^{u} \cdot \frac{du}{dx} $. Aqui, $ u = 2x $, então $ \frac{du}{dx} = 2 $.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
ddx ( 15 e^2x ) = 15 cdot e^2x cdot 2 = 25 e^2x

Passo 6

Agora, somando as derivadas dos termos:
f(x) = ddx ( x + 15 e^2x + c ) = 1 + 25 e^2x

Resposta

A função desejada é $ f(x) = 1 + \frac{2}{5} e^{2x} $.

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