Determine a função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma função $ f $ tal que, ao integrá-la, o resultado seja $ \int f(x) , dx = x + \frac{1}{5} e^{2x} + c $. Isso envolve o cálculo de integrais e derivadas, que são partes do cálculo diferencial e integral. Para resolver, vamos precisar entender como a integral e a derivada estão relacionadas.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que a integral de uma função $ f(x) $ em relação a $ x $ nos dá uma antiderivada dessa função. Ou seja, se $ F(x) = \int f(x) , dx $, então $ F(x) $ é uma função cuja derivada é $ f(x) $. Portanto, para encontrar $ f(x) $, basta derivar $ F(x) $.
Passo 3
Vamos identificar o que temos: $ F(x) = x + \frac{1}{5} e^{2x} + c $. A constante $ c $ desaparece quando derivamos, pois a derivada de uma constante é zero. Então, focaremos em derivar $ x + \frac{1}{5} e^{2x} $.
Passo 4
Vamos derivar termo a termo:
- A derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1.
- Para derivar $ \frac{1}{5} e^{2x} $, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ x $ é $ e^{u} \cdot \frac{du}{dx} $. Aqui, $ u = 2x $, então $ \frac{du}{dx} = 2 $.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Agora, somando as derivadas dos termos:
Resposta
A função desejada é $ f(x) = 1 + \frac{2}{5} e^{2x} $.