Resolva a equação diferencial
y^prime=3 x(3 x^2-5)^8

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
y^prime = 3x(3x^2 - 5)^8
Estamos lidando com cálculo, mais especificamente com equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar integrar a expressão do lado direito para encontrar a função y(x) .

Passo 2

Primeiro, lembrando que y^prime representa a derivada de y em relação a x , ou seja:
y^prime = dydx
Então, a equação diferencial pode ser escrita como:
dydx = 3x(3x^2 - 5)^8
Para encontrar y , precisamos integrar ambos os lados em relação a x :
y = integral 3x(3x^2 - 5)^8 , dx + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 3

Vamos resolver a integral:
integral 3x(3x^2 - 5)^8 , dx
Perceba que o numerador 3x , dx é a derivada de 3x^2 - 5 . Isso sugere uma substituição simples. Vamos fazer:
u = 3x^2 - 5
dudx = 6x Rightarrow du = 6x , dx Rightarrow du2 = 3x , dx
Agora, substituímos na integral:
integral 3xu^8 , dx = integral 1u^8 cdot du2 = 12 integral u^-8 , du

Passo 4

Integrando u^-8 :
12 integral u^-8 , du = 12 cdot ( u^-7-7 ) + C = -114 u^-7 + C
Agora, voltamos à variável original x :
u = 3x^2 - 5 Rightarrow u^-7 = 1(3x^2 - 5)^7
Então, a solução da integral é:
-114 cdot 1(3x^2 - 5)^7 + C

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = -114 cdot 1(3x^2 - 5)^7 + C

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