Estude a convergência ou divergência de cada série e especifique o teste utilizado:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
Este é um caso de série de termos positivos e vamos usar como referência a p-série
que sabemos convergir porque
. Para tornar isso rigoroso, aplicaremos o teste de comparação pelo limite.
Passo 2
Definimos
Como ambas são positivas para todo
, o teste de comparação limite diz que, se
existe e
, então
e
têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Logo,
, que é um número finito e estritamente positivo.
Passo 4
Como
é convergente (p-série com exponent
) e o teste de comparação limite deu
, concluímos que
também converge. O teste utilizado foi o teste de comparação pelo limite com uma p-série convergente.
Resposta
A série converge (teste de comparação pelo limite com a p-série de expoente
).