Estude a convergência ou divergência de cada série e especifique o teste utilizado:
sumn=1^infty 1(n+1) raizn

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty1(n+1)raizn
Este é um caso de série de termos positivos e vamos usar como referência a p-série
sumn=1^infty1n^3/2,
que sabemos convergir porque 3/2>1. Para tornar isso rigoroso, aplicaremos o teste de comparação pelo limite.

Passo 2

Definimos
an = 1(n+1)raizn e bn = 1n^3/2
Como ambas são positivas para todo n, o teste de comparação limite diz que, se
L = limntoinftyanbn
existe e 0 < L < infty, então sum an e sum bn têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 3

Vamos calcular o limite:
anbn = 1(n+1)raizn1n^3/2 = n^3/2(n+1)raizn = nn+1 longrightarrow 1 quando ntoinfty
Logo, L=1, que é um número finito e estritamente positivo.

Passo 4

Como sum bn = sumn=1^infty1/n^3/2 é convergente (p-série com exponent 3/2>1) e o teste de comparação limite deu 0<L<infty, concluímos que
sumn=1^infty1(n+1)raizn
também converge. O teste utilizado foi o teste de comparação pelo limite com uma p-série convergente.

Resposta

A série converge (teste de comparação pelo limite com a p-série de expoente 3/2).

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