Seja R a região limitada pelas curvas y=x^3 e y=x.
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x.

Passo 1

Primeiro, entendi o que o enunciado pede: a região R é delimitada por y = x^3 e y = x. Quero o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x. Vou usar o método dos discos (ou anéis), que requer encontrar as interseções das curvas e determinar os raios externo e interno para a montagem da integral.

Passo 2

Calculo os pontos de interseção das curvas resolvendo
x^3 = x implies x(x^2-1)=0 implies x=-1,;0,;1
Isso indica que a região varia no eixo x de -1 até 1.

Passo 3

Para determinar os raios externo e interno, observo que para 0<= x<=1 temos x^3<= x, logo o raio externo é R(x)=x e o interno é r(x)=x^3. Para -1<= x<=0 ambas as funções são negativas, mas ao olhar as distâncias ao eixo x, o maior valor absoluto vem de y=x. Assim R(x)=-x e r(x)=-x^3, mas como vou elevar ao quadrado, R^2(x)=x^2 e r^2(x)=x^6 em todo o intervalo.

Passo 4

Montei a integral do volume pelo método dos anéis:
V = pi integral-1^1 l(R^2(x) - r^2(x)r),dx = pi integral-1^1 (x^2 - x^6),dx

Passo 5

Para calcular, uso que a função x^2 - x^6 é par, então:
V = 2pi integral0^1 (x^2 - x^6),dx = 2pi [ x^33 - x^77 ]0^1 = 2pi ( 13 - 17 ) = 8pi21

Resposta

8pi21

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