5 Determine uma função
cuja derivada seja
. A função
é única?
Passo 1
O enunciado pede uma função
tal que
com
. O conteúdo aqui é encontrar uma primitiva (ou antiderivada) de
.
Passo 2
Para obter
usamos a definição de primitiva, integrando
termo a termo:
Passo 3
Aplicando a regra da potência e da constante:
Somando os resultados e incluindo a constante arbitrária
, temos
Passo 4
Duas funções com a mesma derivada diferem por uma constante. Portanto,
não é única: todas as primitivas de
formam a família
onde
é qualquer constante.
Resposta
A família de soluções é
com
constante arbitrária, mostrando que a primitiva é única apenas até uma constante.