5 Determine uma função F(x) cuja derivada seja f(x)=4 x+3. A função F(x) é única?

Passo 1

O enunciado pede uma função F(x) tal que F'(x)=f(x) com f(x)=4x+3. O conteúdo aqui é encontrar uma primitiva (ou antiderivada) de f.

Passo 2

Para obter F(x) usamos a definição de primitiva, integrando f(x) termo a termo:
integral (4x+3),dx ;=;integral 4x,dx ;+;integral 3,dx

Passo 3

Aplicando a regra da potência e da constante:
integral 4x,dx = 4cdotx^22=2x^2,
integral 3,dx = 3x
Somando os resultados e incluindo a constante arbitrária C, temos
F(x)=2x^2+3x+C

Passo 4

Duas funções com a mesma derivada diferem por uma constante. Portanto, F(x) não é única: todas as primitivas de 4x+3 formam a família
F(x)=2x^2+3x+C,
onde C é qualquer constante.

Resposta

A família de soluções é
F(x)=2x^2+3x+C,
com C constante arbitrária, mostrando que a primitiva é única apenas até uma constante.

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