Determine pontos de máximos e mínimos locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, assíntotas e esboçe o gráfico das funções abaixo:
(h) x(x-4)^2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x(x-4)^2,
definida em todo xneq4. Precisamos encontrar os extremos locais (usando f'), os pontos de inflexão (usando f''), os intervalos de crescimento/decrescimento, as assíntotas (verticais e horizontais) e esboçar o gráfico.

Passo 2

Determinar o domínio e as assíntotas.
O domínio é
xinRmid xneq4
Para xto4^pm, como o denominador (x-4)^2to0^+ e o numerador to4, segue
limxto4^pmf(x)=+infty,
logo há assíntota vertical em x=4.
Para xtopminfty, temos ,f(x)sim x/x^2=1/xto0, então há assíntota horizontal
y=0

Passo 3

Calcular f' e analisar monotonicidade.
Usando a regra do quociente,
f'(x) =1cdot(x-4)^2 - xcdot2(x-4)(x-4)^4 =(x-4)l[(x-4)-2xr](x-4)^4 =-x+4(x-4)^3
Zeramos o numerador: x+4=0implies x=-4 (único crítico em domínio).
Analisando o sinal de
,-(x+4)/(x-4)^3 nos intervalos (-infty,-4), (-4,4) e (4,infty), obtemos:
  • Em (-infty,-4): f'<0 to decrescente.
  • Em (-4,4): f'>0 to crescente.
  • Em (4,infty): f'<0 to decrescente.
    Logo há mínimo local em x=-4.
    O valor é
f(-4)=-4(-4-4)^2=-464=-116

Passo 4

Calcular f'' e achar inflexão.
Derivando f'(x)=-(x+4)(x-4)^-3, obtemos
f''(x) =2(x+8)(x-4)^4
Zera-se x+8=0implies x=-8, ponto de inflexão.
O valor é
f(-8)=-8(-8-4)^2=-8144=-118
Como o denominador de f'' é sempre positivo, f''<0 para x<-8 (côncavo para baixo) e f''>0 para x>-8 (côncavo para cima), exceto em x=4 que não pertence ao domínio.

Passo 5

Resumo dos resultados e esboço qualitativo:
1. Domínio: xneq4.
2. Assíntotas: vertical em x=4; horizontal em y=0.
3. Crescimento/decrescimento:
  • Decrescente em (-infty,-4) e em (4,infty).
  • Crescente em (-4,4).
    4. Extremo local: mínimo em l(-4,-tfrac116r).
    5. Concavidade e inflexão:
  • Côncavo para baixo em (-infty,-8).
  • Ponto de inflexão em l(-8,-tfrac118r).
  • Côncavo para cima em (-8,4) e em (4,infty).
Esboço qualitativo do gráfico:
  • Para xto -infty, f(x)to0^- (acima da assíntota y=0 pelo lado negativo).
  • Desce até inflexão em (-8,-tfrac118), ainda decresce e depois tem mínimo em (-4,-tfrac116).
  • Em seguida sobe passando por (0,0) e tende a +infty quando xto4^-.
  • No ramo x>4, começa em +infty, decresce sempre côncavo para cima e vai a 0^+ quando xto+infty.

Resposta

Mínimo local em l(-4,,-tfrac116r).
Ponto de inflexão em l(-8,,-tfrac118r).
Crescente em ,(-4,4), decrescente em (-infty,-4) e (4,infty).
Côncavo para baixo em (-infty,-8), côncavo para cima em (-8,4) e (4,infty).
Assíntotas: x=4 (vertical) e y=0 (horizontal).

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