Determine pontos de máximos e mínimos locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, assíntotas e esboçe o gráfico das funções abaixo:
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em todo
. Precisamos encontrar os extremos locais (usando
), os pontos de inflexão (usando
), os intervalos de crescimento/decrescimento, as assíntotas (verticais e horizontais) e esboçar o gráfico.
Passo 2
Determinar o domínio e as assíntotas.
O domínio é
O domínio é
Para
, como o denominador
e o numerador
, segue
logo há assíntota vertical em
.
Para , temos
, então há assíntota horizontal
Para
Passo 3
Calcular
e analisar monotonicidade.
Usando a regra do quociente,
Usando a regra do quociente,
Zeramos o numerador:
(único crítico em domínio).
Analisando o sinal de
nos intervalos
,
e
, obtemos:
Analisando o sinal de
- Em
: decrescente. - Em
: crescente. - Em
: decrescente.
Logo há mínimo local em.
O valor é
Passo 4
Calcular
e achar inflexão.
Derivando , obtemos
Derivando
Zera-se
, ponto de inflexão.
O valor é
O valor é
Como o denominador de
é sempre positivo,
para
(côncavo para baixo) e
para
(côncavo para cima), exceto em
que não pertence ao domínio.
Passo 5
Resumo dos resultados e esboço qualitativo:
- Decrescente em
e em . - Crescente em
.
. Extremo local: mínimo em .
. Concavidade e inflexão: - Côncavo para baixo em
. - Ponto de inflexão em
. - Côncavo para cima em
e em .
Esboço qualitativo do gráfico:
- Para
, (acima da assíntota pelo lado negativo). - Desce até inflexão em
, ainda decresce e depois tem mínimo em . - Em seguida sobe passando por
e tende a quando . - No ramo
, começa em , decresce sempre côncavo para cima e vai a quando .
Resposta
Mínimo local em
.
Ponto de inflexão em .
Crescente em , decrescente em
e
.
Côncavo para baixo em , côncavo para cima em
e
.
Assíntotas: (vertical) e
(horizontal).
Ponto de inflexão em
Crescente em
Côncavo para baixo em
Assíntotas: