Use o teorema do anulamento para determinar os limites abaixo.
lim x -infty e^x cdot sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto -infty e^x,sen(x)
usando o teorema do anulamento (também chamado de teorema do aperto ou squeeze theorem). O conteúdo aqui é limites em infinito e exploração do fato de que sen(x) é uma função limitada enquanto e^x tende a zero quando xto -infty.

Passo 2

Sabemos que para todo x vale
-1 <= sen(x) <= 1
Esse é o ponto de partida para aplicar o teorema do anulamento: temos uma função limitada entre duas constantes.

Passo 3

Como e^x>0 para todo x, podemos multiplicar a desigualdade anterior por e^x sem inverter sinais, obtendo
-,e^x ;<=; e^x,sen(x);<=; e^x

Passo 4

Agora analisamos os limites das funções que “apertam” e^xsen(x). Quando xto -infty temos
limxto -infty l(-e^xr) =-;limxto -inftye^x = -0 = 0,
limxto -infty e^x = 0
Como e^xsen(x) fica “espremido” entre -e^x e e^x, ambos com limite zero, o teorema do anulamento garante que
limxto -infty e^x,sen(x) = 0

Resposta

0

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