Determine a função
na equação
sabendo que
Passo 1
O enunciado dá a função solução
e pede determinar a função
na equação diferencial
Informações relevantes fornecidas:
- Há dois termos com constantes arbitrárias
e (são soluções da equação homogênea). - Há termos sem constantes
que formam uma parte particular da solução. - Objetivo: calcular
usando a função dada.
Passo 2
Explicação do método (sem assumir que já sabe): defina o operador linear
Esse operador é linear, ou seja, para quaisquer funções
e constantes
vale
Se uma parte da solução é a solução geral da homogênea (aqui
), então
aplicado a essa parte dá zero. Vou mostrar isso explicitamente para ficar seguro e para você poder repetir na prova.
Passo 3
Verificação de que os termos com
e
pertencem à homogênea e anulam o operador:
Calcule
. Temos
Logo
De modo análogo para
:
portanto
Pela linearidade, a contribuição dos termos com
e
em
é zero. Assim só precisamos aplicar
à parte sem constantes (a parte particular).
Passo 4
Isolar a parte particular. Defina
Vamos calcular
e
passo a passo (faça isso na prova também: derive termo a termo).
Derivando termo a termo:
Portanto
Passo 5
Agora a segunda derivada
. Derive
termo a termo:
Logo
Passo 6
Calcular
. Como já argumentamos, os termos com
e
não contribuem, então
Substituindo as expressões encontradas:
Agora fazemos a álgebra com calma: abra parênteses e some termos semelhantes.
Observe que os termos com
se cancelam
e os termos em
somam:
Ficamos, portanto, com