Determine a função F(x) na equação y^{\prime \prime}-y=F(x) sabendo que
y(x)=C_{1} e^{-x}+C_{2} e^{x}-1-\frac{3 \operatorname{sen}(x)}{2}-\frac{e^{-x}}{3}

Passo 1

O enunciado dá a função solução
y(x)=C_{1} e^{-x}+C_{2} e^{x}-1-\frac{3\sin(x)}{2}-\frac{e^{-x}}{3}
e pede determinar a função F(x) na equação diferencial
y''-y=F(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • Há dois termos com constantes arbitrárias C_{1} e C_{2} (são soluções da equação homogênea).
  • Há termos sem constantes -1-\dfrac{3\sin(x)}{2}-\dfrac{e^{-x}}{3} que formam uma parte particular da solução.
  • Objetivo: calcular F(x)=y''-y usando a função y(x) dada.

Passo 2

Explicação do método (sem assumir que já sabe): defina o operador linear
L[y]=y''-y.
Esse operador é linear, ou seja, para quaisquer funções u,v e constantes a,b vale
L[au+bv]=aL[u]+bL[v].
Se uma parte da solução é a solução geral da homogênea (aqui C_{1} e^{-x}+C_{2} e^{x}), então L aplicado a essa parte dá zero. Vou mostrar isso explicitamente para ficar seguro e para você poder repetir na prova.

Passo 3

Verificação de que os termos com C_{1} e C_{2} pertencem à homogênea e anulam o operador:
Calcule L[C_{1}e^{-x}]. Temos
\frac{d}{dx}\big(C_{1}e^{-x}\big)=-C_{1}e^{-x},\qquad \frac{d^{2}}{dx^{2}}\big(C_{1}e^{-x}\big)=C_{1}e^{-x}.
Logo
L[C_{1}e^{-x}]=C_{1}e^{-x}-C_{1}e^{-x}=0.
De modo análogo para C_{2}e^{x}:
\frac{d}{dx}\big(C_{2}e^{x}\big)=C_{2}e^{x},\qquad \frac{d^{2}}{dx^{2}}\big(C_{2}e^{x}\big)=C_{2}e^{x},
portanto
L[C_{2}e^{x}]=C_{2}e^{x}-C_{2}e^{x}=0.
Pela linearidade, a contribuição dos termos com C_{1} e C_{2} em L[y] é zero. Assim só precisamos aplicar L à parte sem constantes (a parte particular).

Passo 4

Isolar a parte particular. Defina
y_{p}(x)=-1-\frac{3\sin(x)}{2}-\frac{e^{-x}}{3}.
Vamos calcular y_{p}' e y_{p}'' passo a passo (faça isso na prova também: derive termo a termo).
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}(-1)=0, \qquad \frac{d}{dx}\Big(-\frac{3\sin x}{2}\Big)=-\frac{3}{2}\cos x, \qquad \frac{d}{dx}\Big(-\frac{e^{-x}}{3}\Big)=-\frac{1}{3}(-e^{-x})=\frac{e^{-x}}{3}.
Portanto
y_{p}'(x)=-\frac{3}{2}\cos x+\frac{e^{-x}}{3}.

Passo 5

Agora a segunda derivada y_{p}''. Derive y_{p}' termo a termo:
\frac{d}{dx}\Big(-\frac{3}{2}\cos x\Big)=-\frac{3}{2}(-\sin x)=\frac{3}{2}\sin x, \qquad \frac{d}{dx}\Big(\frac{e^{-x}}{3}\Big)=\frac{1}{3}(-e^{-x})=-\frac{e^{-x}}{3}.
Logo
y_{p}''(x)=\frac{3}{2}\sin x-\frac{e^{-x}}{3}.

Passo 6

Calcular F(x)=L[y]=y''-y. Como já argumentamos, os termos com C_{1} e C_{2} não contribuem, então
F(x)=y_{p}''(x)-y_{p}(x).
Substituindo as expressões encontradas:
y_{p}''(x)-y_{p}(x)=\Big(\frac{3}{2}\sin x-\frac{e^{-x}}{3}\Big) -\Big(-1-\frac{3\sin x}{2}-\frac{e^{-x}}{3}\Big).
Agora fazemos a álgebra com calma: abra parênteses e some termos semelhantes.
y_{p}''-y_{p}=\frac{3}{2}\sin x-\frac{e^{-x}}{3}+1+\frac{3\sin x}{2}+\frac{e^{-x}}{3}.
Observe que os termos com e^{-x} se cancelam \big(-\tfrac{e^{-x}}{3}+\tfrac{e^{-x}}{3}=0\big) e os termos em \sin x somam:
\frac{3}{2}\sin x+\frac{3}{2}\sin x=3\sin x.
Ficamos, portanto, com
F(x)=1+3\sin x.

Resposta

F(x)=1+3\sin x

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