Calcule
, onde
é a curva de equação
, orientada positivamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a curva dada por
orientada positivamente. Informações fornecidas:
- A curva
é o círculo de raio centrado na origem. - “Orientada positivamente” significa orientação anti-horária (no sentido anti-horário / sentido trigonométrico).
- A integranda é a 1-forma
.
A pergunta é: calcular o valor numérico dessa integral para a curva indicada.
Passo 2
Escolha do método e parametrização (por que usar parametrização).
- Como a curva é um círculo simples e a integranda é dada em
, a parametrização clássica por ângulo é a escolha mais direta e elementar. Além disso, a expressão fica constante igual a na curva, o que deve simplificar muito a integral. - Parametrização da circunferência (orientação positiva = anti-horária):
- Derivando em relação a
obtemos:
Passo 3
Substituir a parametrização na numerador
e simplificar passo a passo.
- Primeiro escrevemos
e em termos de :
- Multiplicando por
e :
- Agora o numerador da integranda é
- Colocando o fator comum
:
- Simplificamos a expressão entre colchetes: expandindo,
Os termos
e
cancelam, sobrando
- Portanto o numerador simplifica para
Passo 4
Substituir o denominador
e obter a forma integrável em
.
- Na curva temos
(constante). Logo a integranda inteira fica
Passo 5
Calcular a integral em
no intervalo
.
- A integral de linha se reduz a
- Observação prática e encorajadora: o resultado não depende de
(desde que ), porque a fator do numerador cancelou com o do denominador. Bom exemplo de como uma boa parametrização simplifica tudo!
Passo 6
Breve comentário adicional (opcional, para fixar a ideia).
- Não foi possível aplicar diretamente o Teorema de Green sobre a região interior sem cuidado, porque a forma tem singularidade na origem (o denominador
é zero em ). Por isso a parametrização da curva é a abordagem mais segura e direta aqui. - Conclusão prática: parametrizar curvas simples (círculos, retas) costuma ser a primeira estratégia em provas — além de cansar menos o cérebro em horários de prova, dá controle total das contas.