Calcule \int_{\alpha} \frac{(x+y) d x-(x-y) d y}{x^{2}+y^{2}}, onde \alpha é a curva de equação x^{2}+y^{2}=r^{2}, orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\alpha}\frac{(x+y)\,dx-(x-y)\,dy}{x^{2}+y^{2}},
onde \alpha é a curva dada por x^{2}+y^{2}=r^{2} orientada positivamente. Informações fornecidas:
  • A curva \alpha é o círculo de raio r centrado na origem.
  • “Orientada positivamente” significa orientação anti-horária (no sentido anti-horário / sentido trigonométrico).
  • A integranda é a 1-forma \omega=\dfrac{(x+y)\,dx-(x-y)\,dy}{x^{2}+y^{2}}.
    A pergunta é: calcular o valor numérico dessa integral para a curva indicada.

Passo 2

Escolha do método e parametrização (por que usar parametrização).
  • Como a curva é um círculo simples e a integranda é dada em x,y, a parametrização clássica por ângulo é a escolha mais direta e elementar. Além disso, a expressão x^{2}+y^{2} fica constante igual a r^{2} na curva, o que deve simplificar muito a integral.
  • Parametrização da circunferência (orientação positiva = anti-horária): x(t)=r\cos t,\qquad y(t)=r\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
  • Derivando em relação a t obtemos: dx = x'(t)\,dt = -r\sin t\,dt,\qquad dy = y'(t)\,dt = r\cos t\,dt.

Passo 3

Substituir a parametrização na numerador (x+y)\,dx-(x-y)\,dy e simplificar passo a passo.
  • Primeiro escrevemos x+y e x-y em termos de t:
x+y = r(\cos t+\sin t),\qquad x-y = r(\cos t-\sin t).
  • Multiplicando por dx e dy:
(x+y)\,dx = r(\cos t+\sin t)\cdot(-r\sin t\,dt) = -r^{2}(\cos t+\sin t)\sin t\,dt,
(x-y)\,dy = r(\cos t-\sin t)\cdot(r\cos t\,dt) = r^{2}(\cos t-\sin t)\cos t\,dt.
  • Agora o numerador da integranda é
(x+y)\,dx-(x-y)\,dy = -r^{2}(\cos t+\sin t)\sin t\,dt - r^{2}(\cos t-\sin t)\cos t\,dt.
  • Colocando o fator comum -r^{2}:
(x+y)\,dx-(x-y)\,dy = -r^{2}\big[(\cos t+\sin t)\sin t + (\cos t-\sin t)\cos t\big]\,dt.
  • Simplificamos a expressão entre colchetes: expandindo,
(\cos t+\sin t)\sin t + (\cos t-\sin t)\cos t = \cos t\sin t + \sin^{2}t + \cos^{2}t - \sin t\cos t.
Os termos \cos t\sin t e -\sin t\cos t cancelam, sobrando
\sin^{2}t+\cos^{2}t = 1.
  • Portanto o numerador simplifica para
(x+y)\,dx-(x-y)\,dy = -r^{2}\,dt.

Passo 4

Substituir o denominador x^{2}+y^{2} e obter a forma integrável em t.
  • Na curva temos \;x^{2}+y^{2}=r^{2}\; (constante). Logo a integranda inteira fica
\frac{(x+y)\,dx-(x-y)\,dy}{x^{2}+y^{2}} = \frac{-r^{2}\,dt}{r^{2}} = -\,dt.

Passo 5

Calcular a integral em t no intervalo [0,2\pi].
  • A integral de linha se reduz a
\int_{\alpha}\frac{(x+y)\,dx-(x-y)\,dy}{x^{2}+y^{2}} = \int_{0}^{2\pi} (-\,dt) = -\int_{0}^{2\pi} dt = -\bigl[t\bigr]_{0}^{2\pi} = -2\pi.
  • Observação prática e encorajadora: o resultado não depende de r (desde que r>0), porque a fator r^{2} do numerador cancelou com o r^{2} do denominador. Bom exemplo de como uma boa parametrização simplifica tudo!

Passo 6

Breve comentário adicional (opcional, para fixar a ideia).
  • Não foi possível aplicar diretamente o Teorema de Green sobre a região interior sem cuidado, porque a forma tem singularidade na origem (o denominador x^{2}+y^{2} é zero em (0,0)). Por isso a parametrização da curva é a abordagem mais segura e direta aqui.
  • Conclusão prática: parametrizar curvas simples (círculos, retas) costuma ser a primeira estratégia em provas — além de cansar menos o cérebro em horários de prova, dá controle total das contas.

Resposta

-2\pi

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