Verificar o Teorema de Green para \oint_{\alpha}\left(x y+y^{2}\right) d x+x^{2} d y, onde \alpha é a curva fechada da região limitada por y=x ; y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Green para a integral de linha
\oint_{\alpha}\left(xy+y^{2}\right)\,dx + x^{2}\,dy,
onde \alpha é a curva fechada que delimita a região D entre as curvas y=x e y=x^{2}.
Informações dadas:
  • A forma diferencial tem P(x,y)=xy+y^{2} e Q(x,y)=x^{2}.
  • A região D é a área limitada por y=x^{2} e y=x.
  • As interseções das curvas satisfazem x^{2}=x, logo os pontos de interseção são x=0 e x=1, isto é, (0,0) e (1,1).
O que precisamos mostrar: que a integral de linha (com orientação positiva, isto é, no sentido anti-horário) é igual à integral dupla sobre D de \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Green (versão usada aqui). Para uma região plana D com fronteira simples e suave \alpha orientada positivamente,
\oint_{\alpha} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando as peças:
  • P(x,y) e Q(x,y) são as componentes da forma diferencial.
  • \dfrac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x.
  • \dfrac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.
    A verificação consiste em calcular os dois lados desta igualdade e checar que dão o mesmo resultado.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando da integral dupla:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(xy+y^{2})=x+2y.
Portanto o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2x-(x+2y)=x-2y.

Passo 4

Montar e calcular a integral dupla sobre a região D. Como as curvas se intersectam em x=0 e x=1 e para x\in[0,1] vale x^{2}\le y\le x, podemos escrever
\iint_{D} (x-2y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=x^{2}}^{y=x} (x-2y)\,dy\,dx.
Calcule a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}}^{x} (x-2y)\,dy = \left[xy - y^{2}\right]_{y=x^{2}}^{y=x} = \big(x\cdot x - x^{2}\big) - \big(x\cdot x^{2} - (x^{2})^{2}\big).
Simplificando os termos:
x^{2}-x^{2} - (x^{3}-x^{4}) = -x^{3}+x^{4}.
Agora integrar em x:
\int_{0}^{1} (-x^{3}+x^{4})\,dx = \left[-\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{5} = -\frac{1}{20}.
Logo o lado direito (integral dupla) é -\dfrac{1}{20}.

Passo 5

Agora calcular diretamente a integral de linha \oint_{\alpha} P\,dx + Q\,dy parametrizando a fronteira \alpha. Primeiro, determinamos a orientação correta (positiva = região à esquerda do trajeto). Para a região entre y=x^{2} (inferior) e y=x (superior):
  • A orientação positiva percorre a curva superior y=x do ponto (1,1) até (0,0) (direção da direita para a esquerda).
  • Depois percorre a curva inferior y=x^{2} de (0,0) até (1,1) (esquerda para a direita).
    Isto garante que a região fique sempre à esquerda do sentido de percurso.

Passo 6

Integral ao longo da curva superior C_{1}\!: y=x parametrizada por x=t,\\ y=t com t variando de 1 a 0 (pois vamos de (1,1) até (0,0)). Então dx=dt,\\ dy=dt. Em termos de t:
P=xy+y^{2}=t\cdot t + t^{2}=2t^{2},\qquad Q=x^{2}=t^{2}.
O contributo de C_{1} é
\int_{C_{1}} P\,dx + Q\,dy = \int_{t=1}^{0} \big(2t^{2}\,dt + t^{2}\,dt\big) = \int_{1}^{0} 3t^{2}\,dt = -\int_{0}^{1} 3t^{2}\,dt = -\left[t^{3}\right]_{0}^{1} = -1.

Passo 7

Integral ao longo da curva inferior C_{2}\!: y=x^{2} parametrizada por x=s,\\ y=s^{2} com s variando de 0 a 1 (vai de (0,0) até (1,1)). Então dx=ds,\\ dy=2s\,ds. Em termos de s:
P=xy+y^{2}=s\cdot s^{2} + (s^{2})^{2}=s^{3}+s^{4},\qquad Q=x^{2}=s^{2}.
O contributo de C_{2} é
\int_{C_{2}} P\,dx + Q\,dy = \int_{s=0}^{1} \big((s^{3}+s^{4})\,ds + s^{2}\cdot(2s\,ds)\big) = \int_{0}^{1} (s^{3}+s^{4}+2s^{3})\,ds = \int_{0}^{1} (3s^{3}+s^{4})\,ds.
Calcule:
\int_{0}^{1} (3s^{3}+s^{4})\,ds = \left[\frac{3s^{4}}{4} + \frac{s^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{3}{4} + \frac{1}{5} = \frac{15+4}{20}=\frac{19}{20}.

Passo 8

Somando os dois trechos da fronteira (com orientação positiva):
\oint_{\alpha} P\,dx + Q\,dy = \int_{C_{1}} + \int_{C_{2}} = -1 + \frac{19}{20} = -\frac{1}{20}.
Comparamos com a integral dupla encontrada no Passo 4, que também deu -\dfrac{1}{20}. Portanto os dois lados coincidem, o que verifica o Teorema de Green para esta forma diferencial e esta região.

Resposta

-\dfrac{1}{20}

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