Verificar o Teorema de Green para
, onde
é a curva fechada da região limitada por
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Green para a integral de linha
onde
é a curva fechada que delimita a região
entre as curvas
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A forma diferencial tem
e . - A região
é a área limitada por e . - As interseções das curvas satisfazem
, logo os pontos de interseção são e , isto é, e .
O que precisamos mostrar: que a integral de linha (com orientação positiva, isto é, no sentido anti-horário) é igual à integral dupla sobre
de
.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Green (versão usada aqui). Para uma região plana
com fronteira simples e suave
orientada positivamente,
Explicando as peças:
-
e são as componentes da forma diferencial. -
é a derivada parcial de em relação a . -
é a derivada parcial de em relação a .
A verificação consiste em calcular os dois lados desta igualdade e checar que dão o mesmo resultado.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando da integral dupla:
Portanto o integrando é
Passo 4
Montar e calcular a integral dupla sobre a região
. Como as curvas se intersectam em
e
e para
vale
, podemos escrever
Calcule a integral interna em
:
Simplificando os termos:
Agora integrar em
:
Logo o lado direito (integral dupla) é
.
Passo 5
Agora calcular diretamente a integral de linha
parametrizando a fronteira
. Primeiro, determinamos a orientação correta (positiva = região à esquerda do trajeto). Para a região entre
(inferior) e
(superior):
- A orientação positiva percorre a curva superior
do ponto até (direção da direita para a esquerda). - Depois percorre a curva inferior
de até (esquerda para a direita).
Isto garante que a região fique sempre à esquerda do sentido de percurso.
Passo 6
Integral ao longo da curva superior
parametrizada por
com
variando de
a
(pois vamos de
até
). Então
. Em termos de
:
O contributo de
é
Passo 7
Integral ao longo da curva inferior
parametrizada por
com
variando de
a
(vai de
até
). Então
. Em termos de
:
O contributo de
é
Calcule:
Passo 8
Somando os dois trechos da fronteira (com orientação positiva):
Comparamos com a integral dupla encontrada no Passo 4, que também deu
. Portanto os dois lados coincidem, o que verifica o Teorema de Green para esta forma diferencial e esta região.