(2 pontos) Calcular a Transformada de Laplace da função
usando a definição.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função
usando a definição.
Informações dadas e objetivo claro:
Informações dadas e objetivo claro:
- A função é
(ou seja, ). - Preciso calcular
usando a definição (isto é, como um integral impróprio).
- Devo também indicar para quais valores de
a integral converge.
Passo 2
Esclarecendo a definição e a estratégia: a transformada de Laplace de
é definida por
onde
pode ser complexo. Como é um integral impróprio, calculamos primeiro a integral até um ponto finito
e depois tomamos o limite quando
. Assim, defino a função auxiliar
e depois farei
, quando esse limite existir. Vou calcular
explicitamente por partes e então avaliar o limite.
Passo 3
Lembrete da ferramenta: fórmula de integração por partes. Se
e
, então
Aqui escolho para
:
Então
assumindo
(mais adiante veremos que precisamos de
para convergência). Aplicando a fórmula entre
e
,
Defino
para simplificar a escrita. Assim
pois
. Logo
Passo 4
Agora calculo
por integração por partes também. Escolho
de modo que
Aplicando a fórmula entre
e
,
O termo da integral do lado direito é
. Avaliando os termos de contorno,
Como
, isso fica
Passo 5
Volto à expressão que ligava
e
:
Substituo o
encontrado:
Desenvolvendo e agrupando os termos que contêm
,
Passo o termo
para o lado esquerdo:
Fatorando
,
Passo 6
Simplifico a expressão para
. Multiplicando numerador e denominador por
dá
Esta é a integral de
a
. Agora tomo o limite
para obter a transformada de Laplace, desde que esse limite exista.
Passo 7
Analisar o limite quando
. O termo potencialmente perigoso é
. Note que
e
são sempre limitados em módulo por
, então
, uma constante. Se
, então
quando
. Portanto o produto
para
. Assim o limite existe e
Passo 8
Conclusão e observação extra prática: a transformada de Laplace de
é
Como exercício rápido (para fixar a ideia), a transformada de
pode ser obtida de forma análoga e dá
o que é uma generalização útil na prova.