(2 pontos) Calcular a Transformada de Laplace da função f(t)=\operatorname{sen}(t) usando a definição.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função f(t)=\operatorname{sen}(t) usando a definição.
Informações dadas e objetivo claro:
  • A função é f(t)=\operatorname{sen}(t) (ou seja, \sin t).
  • Preciso calcular
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin t\,dt,
usando a definição (isto é, como um integral impróprio).
  • Devo também indicar para quais valores de s a integral converge.

Passo 2

Esclarecendo a definição e a estratégia: a transformada de Laplace de f é definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s pode ser complexo. Como é um integral impróprio, calculamos primeiro a integral até um ponto finito A e depois tomamos o limite quando A\to\infty. Assim, defino a função auxiliar
I(A)=\int_{0}^{A} e^{-st}\sin t\,dt,
e depois farei \displaystyle \mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\lim_{A\to\infty} I(A), quando esse limite existir. Vou calcular I(A) explicitamente por partes e então avaliar o limite.

Passo 3

Lembrete da ferramenta: fórmula de integração por partes. Se u=u(t) e dv=v'(t)\,dt, então
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui escolho para I(A):
u=\sin t,\qquad dv=e^{-st}\,dt.
Então
du=\cos t\,dt,\qquad v=\int e^{-st}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-st},
assumindo s\neq 0 (mais adiante veremos que precisamos de \Re(s)>0 para convergência). Aplicando a fórmula entre 0 e A,
I(A)=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\sin t\right]_{0}^{A} + \frac{1}{s}\int_{0}^{A} e^{-st}\cos t\,dt.
Defino
J(A)=\int_{0}^{A} e^{-st}\cos t\,dt,
para simplificar a escrita. Assim
I(A)=-\frac{1}{s}e^{-sA}\sin A + \frac{1}{s}\cdot 0 + \frac{1}{s}J(A),
pois \sin 0=0. Logo
I(A)=-\frac{1}{s}e^{-sA}\sin A + \frac{1}{s}J(A).

Passo 4

Agora calculo J(A) por integração por partes também. Escolho
u=\cos t,\qquad dv=e^{-st}\,dt,
de modo que
du=-\sin t\,dt,\qquad v=-\frac{1}{s}e^{-st}.
Aplicando a fórmula entre 0 e A,
J(A)=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\cos t\right]_{0}^{A} - \int_{0}^{A}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)(- \sin t)\,dt.
O termo da integral do lado direito é (1/s)\int_{0}^{A} e^{-st}\sin t\,dt = \dfrac{1}{s}I(A). Avaliando os termos de contorno,
J(A)=-\frac{1}{s}e^{-sA}\cos A -\left(-\frac{1}{s}\cos 0\right) - \frac{1}{s}I(A).
Como \cos 0=1, isso fica
J(A)=-\frac{1}{s}e^{-sA}\cos A + \frac{1}{s} - \frac{1}{s}I(A).

Passo 5

Volto à expressão que ligava I(A) e J(A):
I(A)=-\frac{1}{s}e^{-sA}\sin A + \frac{1}{s}J(A).
Substituo o J(A) encontrado:
I(A)=-\frac{1}{s}e^{-sA}\sin A + \frac{1}{s}\Big(-\frac{1}{s}e^{-sA}\cos A + \frac{1}{s} - \frac{1}{s}I(A)\Big).
Desenvolvendo e agrupando os termos que contêm I(A),
I(A)=-\frac{1}{s}e^{-sA}\sin A -\frac{1}{s^{2}}e^{-sA}\cos A + \frac{1}{s^{2}} - \frac{1}{s^{2}}I(A).
Passo o termo -\dfrac{1}{s^{2}}I(A) para o lado esquerdo:
I(A)+\frac{1}{s^{2}}I(A)=\frac{1}{s^{2}} -\frac{1}{s}e^{-sA}\sin A -\frac{1}{s^{2}}e^{-sA}\cos A.
Fatorando I(A),
I(A)\left(1+\frac{1}{s^{2}}\right)=\frac{1}{s^{2}} - e^{-sA}\left(\frac{1}{s}\sin A + \frac{1}{s^{2}}\cos A\right).

Passo 6

Simplifico a expressão para I(A). Multiplicando numerador e denominador por s^{2}
I(A)=\frac{1 - e^{-sA}\big(s\sin A + \cos A\big)}{s^{2}+1}.
Esta é a integral de 0 a A. Agora tomo o limite A\to\infty para obter a transformada de Laplace, desde que esse limite exista.

Passo 7

Analisar o limite quando A\to\infty. O termo potencialmente perigoso é e^{-sA}\big(s\sin A + \cos A\big). Note que \sin A e \cos A são sempre limitados em módulo por 1, então |s\sin A+\cos A|\le |s|+1, uma constante. Se \Re(s)>0, então |e^{-sA}|=e^{-\Re(s)A}\to 0 quando A\to\infty. Portanto o produto e^{-sA}(s\sin A+\cos A)\to 0 para \Re(s)>0. Assim o limite existe e
\lim_{A\to\infty} I(A)=\frac{1}{s^{2}+1}, \qquad \text{para } \Re(s)>0.

Passo 8

Conclusão e observação extra prática: a transformada de Laplace de \sin t é
\mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1},\qquad \Re(s)>0.
Como exercício rápido (para fixar a ideia), a transformada de \sin(a t) pode ser obtida de forma análoga e dá
\mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},\qquad \Re(s)>0,
o que é uma generalização útil na prova.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1},\quad \Re(s)>0

Exercícios relacionados