Determine se a função f(x)=2 x+3x-1 é injetiva.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x)=2x+3x-1 é injetiva. Esse assunto está na parte de funções e injeção, e precisaremos conhecer o domínio da função ( xneq1) e usar a definição de injetividade.

Passo 2

Pela definição, uma função é injetiva se, dados quaisquer x1 e x2 no domínio, a igualdade f(x1)=f(x2) implica x1=x2. Vamos assumir f(x1)=f(x2) com x1,x2neq1.

Passo 3

Igualando as expressões e fazendo a multiplicação cruzada para eliminar os denominadores, temos:
2x1+3x1-1=2x2+3x2-1
(2x1+3)(x2-1)=(2x2+3)(x1-1)

Passo 4

Expansão e simplificação:
2x1x2-2x1+3x2-3 = 2x1x2-2x2+3x1-3

Passo 5

Cancelando os termos iguais e reorganizando, obtemos
-2x1+3x2 = -2x2+3x1 que leva a
-5x1 = -5x2 Portanto
x1 = x2

Passo 6

Como mostramos que sempre que f(x1)=f(x2) temos x1=x2, concluímos que a função é injetiva.

Resposta

A função é injetiva.

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