Determine se a função
é contínua
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente determinar se a função
é contínua. Vamos resolver isso usando conceitos de cálculo que envolvem continuidade de funções de várias variáveis. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e verificar se a função está bem comportada em todos os pontos do seu domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, para verificar a continuidade da nossa função, precisamos analisar se essa condição é satisfeita em todos os pontos do domínio da função.
Passo 3
Vamos olhar para o domínio da função
. O denominador
não pode ser zero, porque não dá pra dividir por zero. Então, a função está definida para todos os pontos
onde
. Ou seja, o único ponto problemático é
, onde o denominador seria zero.
Passo 4
Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto
. Como a função não está definida nesse ponto, a gente precisa ver se ela pode ser estendida para lá de forma contínua. Para isso, vamos calcular o limite quando
se aproxima de
:
Vamos converter para coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na função:
Agora, observamos que quando
,
porque
está indo para zero e
é limitado.
Passo 5
O limite no ponto
é zero. Agora, se quisermos que a função seja contínua nesse ponto, precisaríamos definir
. Se isso for feito, então a função seria contínua em
porque o limite existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Porém, pelo enunciado original, a função não está definida em
, então ela não é contínua nesse ponto.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
, mas é contínua em todo o restante do seu domínio.