Determine se a função f(x, y)=x^3x^2+y^2 é contínua

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente determinar se a função é contínua. Vamos resolver isso usando conceitos de cálculo que envolvem continuidade de funções de várias variáveis. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e verificar se a função está bem comportada em todos os pontos do seu domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b) é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, para verificar a continuidade da nossa função, precisamos analisar se essa condição é satisfeita em todos os pontos do domínio da função.

Passo 3

Vamos olhar para o domínio da função . O denominador não pode ser zero, porque não dá pra dividir por zero. Então, a função está definida para todos os pontos onde . Ou seja, o único ponto problemático é , onde o denominador seria zero.

Passo 4

Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto lim(x, y) to (0, 0) x^3x^2 + y^2 . Como a função não está definida nesse ponto, a gente precisa ver se ela pode ser estendida para lá de forma contínua. Para isso, vamos calcular o limite quando (r costheta)^3(r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = r^3 cos^3thetar^2 (cos^2theta + sin^2theta) = r^3 cos^3thetar^2 = r cos^3theta se aproxima de :
Vamos converter para coordenadas polares, onde e . Substituindo na função:
Agora, observamos que quando , porque está indo para zero e é limitado.

Passo 5

O limite no ponto é zero. Agora, se quisermos que a função seja contínua nesse ponto, precisaríamos definir . Se isso for feito, então a função seria contínua em porque o limite existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Porém, pelo enunciado original, a função não está definida em , então ela não é contínua nesse ponto.

Resposta

A função não é contínua no ponto , mas é contínua em todo o restante do seu domínio.

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