Determine o maior conjunto no qual a função é contínua:
f(x, y)=x y^2raiz4-x^2-y^2

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma função de duas variáveis:
f(x, y) = x y^2raiz4 - x^2 - y^2
A questão aqui é descobrir o maior conjunto de pontos onde essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender quando a função está bem definida, ou seja, quando não rola de dar algum problema como divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da função: 4 - x^2 - y^2 >= 0 . A gente sabe que raiz quadrada só tá definida para números maiores ou iguais a zero. Então, precisamos que:
x^2 + y^2 <= 4
Isso significa que:
Esse é o interior e a borda de um círculo com raio 2 no plano .

Passo 3

Além disso, o denominador não pode ser zero, porque aí a gente teria divisão por zero, que não existe. Então, além de:
x^2 + y^2 <= 4
A gente também precisa que:
4 - x^2 - y^2 > 0
Ou seja:
x^2 + y^2 < 4
Isso define o interior do círculo, sem incluir a borda.

Passo 4

Resumindo, para a função x^2 + y^2 < 4 ser contínua, o denominador tem que estar bem definido e diferente de zero. Isso acontece quando:
Dentro desse conjunto, a função não tem nenhum problema de definição e, portanto, é contínua.

Resposta

O maior conjunto onde a função é contínua é todos os pontos tais que .

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