Questão 5:
Use a Regra da Cadeia para achar partial zpartial s e partial zpartial t :
z=sin (x)y, x=s^2+t^2, y=s t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ s $ e $ t $. A função que estamos trabalhando é:
z
Vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, funções que dependem de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar partial zpartial s. Para isso, aplicamos a Regra da Cadeia, que nos diz que se $ z $ depende de $ x $ e $ y $, e $ x $ e $ y $ dependem de $ s $, então:
z

Passo 3

Vamos calcular cada derivada necessária:
  1. partial zpartial x:
z = sin(x)y Rightarrow partial zpartial x = cos(x)y
  1. partial xpartial s:
x = s^2 + t^2 Rightarrow partial xpartial s = 2s
  1. partial zpartial y:
z = sin(x)y Rightarrow partial zpartial y = -sin(x)y^2
  1. partial ypartial s:
y = s t Rightarrow partial ypartial s = t

Passo 4

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia para partial zpartial s:
partial zpartial s = ( cos(x)y ) cdot (2s) + ( -sin(x)y^2 ) cdot t
Simplificando:
partial zpartial s = 2s cos(x)y - t sin(x)y^2

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para encontrar partial zpartial t. Usando a Regra da Cadeia:
partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t

Passo 6

Calculando cada parte:
  1. partial xpartial t:
x = s^2 + t^2 Rightarrow partial xpartial t = 2t
  1. partial ypartial t:
y = s t Rightarrow partial ypartial t = s

Passo 7

Substituindo na fórmula:
partial zpartial t = ( cos(x)y ) cdot (2t) + ( -sin(x)y^2 ) cdot s
Simplificando:
partial zpartial t = 2t cos(x)y - s sin(x)y^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = 2s cos(x)y - t sin(x)y^2
e
partial zpartial t = 2t cos(x)y - s sin(x)y^2

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