Determine se a função fornecida é uma solução da equação diferencial dada:
(g)
.
(g)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a função
é solução da equação diferencial
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função proposta é
. - A equação a verificar é
. - Observação importante: a função
está definida apenas para , logo qualquer verificação só faz sentido para .
Passo 2
Primeiro precisamos calcular
, a primeira derivada de
. Usamos a regra conhecida para a derivada do logaritmo natural: para
,
Aqui
e a variável independente é
. Portanto
Breve justificativa dessa regra (didática):
é a função inversa de
. Pela regra da derivada da função inversa, se
é inversa de
, então
. Aplicando com
e
, obtemos
.
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada
, que é a derivada de
. Usamos a regra de potência:
e
. Assim,
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial
e simplificamos passo a passo:
Calculando o primeiro termo:
Portanto
Passo 5
Para que
fosse solução da equação, precisaríamos ter
para todo
no domínio (aqui
). Obtivemos
. Como para
temos
, a igualdade não se verifica. Conclusão:
não satisfaz a equação diferencial no domínio
, portanto não é solução.
Resposta
Não.
, logo
não é solução (para
).