Determine se a função fornecida é uma solução da equação diferencial dada:
(g) y=\ln x ; \quad x y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função y=\ln x é solução da equação diferencial
x\,y''-y'=0.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função proposta é y=\ln x.
  • A equação a verificar é x\,y''-y'=0.
  • Observação importante: a função \ln x está definida apenas para x>0, logo qualquer verificação só faz sentido para x>0.

Passo 2

Primeiro precisamos calcular y', a primeira derivada de y. Usamos a regra conhecida para a derivada do logaritmo natural: para x>0,
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}.
Aqui y=\ln x e a variável independente é x. Portanto
y'=\frac{1}{x}.
Breve justificativa dessa regra (didática): \ln x é a função inversa de e^x. Pela regra da derivada da função inversa, se f é inversa de g, então f'(x)=1/(g'(f(x))). Aplicando com f=\ln e g=e^x, obtemos (\ln x)'=1/(e^{\ln x})=1/x.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada y'', que é a derivada de y'=\dfrac{1}{x}. Usamos a regra de potência: \dfrac{1}{x}=x^{-1} e \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Assim,
y''=\frac{d}{dx}\!\left(x^{-1}\right)=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Substituímos y' e y'' na equação diferencial x\,y''-y'=0 e simplificamos passo a passo:
x\,y''-y' = x\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) - \frac{1}{x}.
Calculando o primeiro termo:
x\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = -\frac{1}{x}.
Portanto
x\,y''-y' = -\frac{1}{x} - \frac{1}{x} = -\frac{2}{x}.

Passo 5

Para que y=\ln x fosse solução da equação, precisaríamos ter x\,y''-y'=0 para todo x no domínio (aqui x>0). Obtivemos x\,y''-y'=-\dfrac{2}{x}. Como para x>0 temos -\dfrac{2}{x}\neq 0, a igualdade não se verifica. Conclusão: y=\ln x não satisfaz a equação diferencial no domínio x>0, portanto não é solução.

Resposta

Não. x\,y''-y'=-\dfrac{2}{x}, logo y=\ln x não é solução (para x>0).

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