Mostre que a função fornecida é uma solução do problema de valor inicial:
(b) y=5 e^{2 x}+x ; \quad \frac{d y}{d x}-2 y=1-2 x, \quad y(0)=5.

Passo 1

O enunciado fornece a função
y=5e^{2x}+x
e pede para mostrar que ela é solução do problema de valor inicial composto por:
\frac{dy}{dx}-2y=1-2x
e pela condição inicial
y(0)=5.
As informações relevantes são: a expressão explícita de y, a equação diferencial linear de primeira ordem a ser satisfeita e a condição inicial no ponto x=0. A tarefa é verificar que a função dada satisfaz simultaneamente a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Primeiro precisamos calcular a derivada de y em relação a x. Vou aplicar a regra da cadeia para a parte exponencial e a regra simples para a parte polinomial. Lembrete rápido sobre a regra da cadeia: se u(x) é uma função de x, então \dfrac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)e^{u(x)}. Aqui u(x)=2x e u'(x)=2.
Aplique isso à função dada:
y=5e^{2x}+x.
Portanto a derivada é
\frac{dy}{dx}=5\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr)+\frac{d}{dx}(x).
Usando a regra da cadeia em \dfrac{d}{dx}(e^{2x}) e sabendo que \dfrac{d}{dx}(x)=1, obtemos
\frac{dy}{dx}=5\cdot(2e^{2x})+1=10e^{2x}+1.

Passo 3

Agora substituímos \dfrac{dy}{dx} e y na expressão da equação diferencial \dfrac{dy}{dx}-2y e simplificamos passo a passo.
Substituindo:
\frac{dy}{dx}-2y=(10e^{2x}+1)-2(5e^{2x}+x).
Distribuindo o -2 no segundo parêntese:
(10e^{2x}+1)-\bigl(10e^{2x}+2x\bigr).
Agora fazemos a subtração termo a termo. Observe que 10e^{2x} aparece com sinais opostos e se cancelam:
10e^{2x}+1-10e^{2x}-2x = 1-2x.
Portanto encontramos exatamente o lado direito da equação diferencial:
\frac{dy}{dx}-2y=1-2x.
Isso mostra que a função dada satisfaz a equação diferencial para todo x.

Passo 4

Falta verificar a condição inicial. Avaliamos y em x=0:
y(0)=5e^{2\cdot 0}+0=5e^{0}=5\cdot 1=5.
Logo a condição inicial \;y(0)=5\; é satisfeita.

Passo 5

Concluímos a verificação: a função y=5e^{2x}+x satisfaz tanto a equação diferencial \dfrac{dy}{dx}-2y=1-2x quanto a condição inicial y(0)=5. Por isso ela é solução do problema de valor inicial proposto. Você conseguiu — fizemos tudo passo a passo e com contas prontas para a prova!

Resposta

A função y=5e^{2x}+x satisfaz a equação diferencial \dfrac{dy}{dx}-2y=1-2x e a condição inicial y(0)=5, logo é solução do problema de valor inicial.

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