Mostre que a função fornecida é uma solução do problema de valor inicial:
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para mostrar que ela é solução do problema de valor inicial composto por:
e pela condição inicial
As informações relevantes são: a expressão explícita de
, a equação diferencial linear de primeira ordem a ser satisfeita e a condição inicial no ponto
. A tarefa é verificar que a função dada satisfaz simultaneamente a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Primeiro precisamos calcular a derivada de
em relação a
. Vou aplicar a regra da cadeia para a parte exponencial e a regra simples para a parte polinomial. Lembrete rápido sobre a regra da cadeia: se
é uma função de
, então
. Aqui
e
.
Aplique isso à função dada:
Portanto a derivada é
Usando a regra da cadeia em
e sabendo que
, obtemos
Passo 3
Agora substituímos
e
na expressão da equação diferencial
e simplificamos passo a passo.
Substituindo:
Distribuindo o
no segundo parêntese:
Agora fazemos a subtração termo a termo. Observe que
aparece com sinais opostos e se cancelam:
Portanto encontramos exatamente o lado direito da equação diferencial:
Isso mostra que a função dada satisfaz a equação diferencial para todo
.
Passo 4
Falta verificar a condição inicial. Avaliamos
em
:
Logo a condição inicial
é satisfeita.
Passo 5
Concluímos a verificação: a função
satisfaz tanto a equação diferencial
quanto a condição inicial
. Por isso ela é solução do problema de valor inicial proposto. Você conseguiu — fizemos tudo passo a passo e com contas prontas para a prova!
Resposta
A função
satisfaz a equação diferencial
e a condição inicial
, logo é solução do problema de valor inicial.