Encontre uma equação da curva que passe pelo ponto (0,2) e cuja inclinação em (x, y) seja \frac{x}{y}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma equação da curva que passa pelo ponto (0,2) e cuja inclinação em cada ponto (x,y) é dada por \frac{x}{y}.
Informações relevantes que temos: \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} (a “inclinação” é a derivada) e a condição inicial (ponto) (x,y) = (0,2).

Passo 2

Interpretação do que significa \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}.
Isto diz que a derivada de y em relação a x (a taxa de variação, a inclinação da curva) em cada ponto é \frac{x}{y}. Para encontrar a curva, precisamos resolver essa equação diferencial com a condição inicial dada.

Passo 3

Identificar o tipo da equação diferencial e justificar o método.
A equação \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} é uma equação diferencial separável: podemos escrever todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro. Isso permite integrar ambos os lados para obter uma relação entre x e y.

Passo 4

Separar as variáveis. Multiplicamos ambos os lados por y e por dx para obter:
y\,dy = x\,dx
Aqui estamos usando a ideia informal de separação: tratar dy e dx como diferenciais e agrupar fatores de y com dy e fatores de x com dx.

Passo 5

Integrar ambos os lados. Integramos em relação às suas variáveis:
\int y\,dy = \int x\,dx.
Agora calculamos as integrais usando a regra básica de potência: para \int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C (quando n\neq -1).

Passo 6

Calcular as integrais explicitamente. Usando a regra acima:
\int y\,dy = \frac{y^2}{2} + C_1,\qquad \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C_2.
Igualando as duas expressões e juntando as constantes num único C (pois C_1-C_2 é apenas outra constante):
\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C.

Passo 7

Simplificar a relação multiplicando por 2:
y^2 = x^2 + C',
onde C' = 2C é uma constante arbitrária. Esta é a família geral de curvas que satisfaz a equação diferencial.

Passo 8

Usar a condição inicial (0,2) para determinar a constante. Substituímos x=0 e y=2 em y^2 = x^2 + C':
(2)^2 = (0)^2 + C' \quad\Rightarrow\quad 4 = 0 + C' \quad\Rightarrow\quad C' = 4.
Portanto a solução particular é
y^2 = x^2 + 4.

Passo 9

Resolver para y. Extraindo raiz quadrada dos dois lados obtemos duas possibilidades:
y = \pm\sqrt{x^2 + 4}.
A condição inicial y(0)=2 seleciona a rama positiva, porque +\sqrt{0^2+4}=2 enquanto -\sqrt{0^2+4}=-2 não satisfaz a condição inicial.

Passo 10

Verificação rápida (opcional, mas útil para prova): calcule \frac{dy}{dx} para y=\sqrt{x^2+4}. Usando derivação de raiz:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x^2+4}}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}.
Como y=\sqrt{x^2+4}, temos \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}, que confirma que a curva encontrada satisfaz a equação diferencial.

Resposta

y=\sqrt{x^2+4}

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