Encontre uma equação da curva que passe pelo ponto
e cuja inclinação em
seja
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma equação da curva que passa pelo ponto
e cuja inclinação em cada ponto
é dada por
.
Informações relevantes que temos: (a “inclinação” é a derivada) e a condição inicial (ponto)
.
Informações relevantes que temos:
Passo 2
Interpretação do que significa
.
Isto diz que a derivada de em relação a
(a taxa de variação, a inclinação da curva) em cada ponto é
. Para encontrar a curva, precisamos resolver essa equação diferencial com a condição inicial dada.
Isto diz que a derivada de
Passo 3
Identificar o tipo da equação diferencial e justificar o método.
A equação é uma equação diferencial separável: podemos escrever todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro. Isso permite integrar ambos os lados para obter uma relação entre
e
.
A equação
Passo 4
Separar as variáveis. Multiplicamos ambos os lados por
e por
para obter:
Aqui estamos usando a ideia informal de separação: tratar
e
como diferenciais e agrupar fatores de
com
e fatores de
com
.
Passo 5
Integrar ambos os lados. Integramos em relação às suas variáveis:
Agora calculamos as integrais usando a regra básica de potência: para
(quando
).
Passo 6
Calcular as integrais explicitamente. Usando a regra acima:
Igualando as duas expressões e juntando as constantes num único
(pois
é apenas outra constante):
Passo 7
Simplificar a relação multiplicando por
:
onde
é uma constante arbitrária. Esta é a família geral de curvas que satisfaz a equação diferencial.
Passo 8
Usar a condição inicial
para determinar a constante. Substituímos
e
em
:
Portanto a solução particular é
Passo 9
Resolver para
. Extraindo raiz quadrada dos dois lados obtemos duas possibilidades:
A condição inicial
seleciona a rama positiva, porque
enquanto
não satisfaz a condição inicial.
Passo 10
Verificação rápida (opcional, mas útil para prova): calcule
para
. Usando derivação de raiz:
Como
, temos
, que confirma que a curva encontrada satisfaz a equação diferencial.