Determine se a função fornecida é uma solução da equação diferencial dada:
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado dá a função
e a equação diferencial
A pergunta é: essa função é solução da equação diferencial?
Informações relevantes: a função candidata está explícita; precisamos calcular
e verificar se, ao somar
com
, obtemos exatamente
.
Informações relevantes: a função candidata
Passo 2
Vamos calcular a derivada
. Vou lembrar e explicar as regras que uso:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada é linear: a derivada da soma é soma das derivadas, e constantes fatoram.
Aplicando isso em
:
Usando as regras:
Portanto
Passo 3
Agora formamos
. Escrevo as duas expressões que já tenho e somo termo a termo:
Passo 4
Faço a soma agrupando termos semelhantes (aqui aproveitamos que
aparece com sinais opostos):
Os termos
e
se cancelam, sobrando
Passo 5
Concluímos que, depois de derivar e somar, obtemos exatamente o lado direito da equação diferencial dado no enunciado. Como a igualdade é verdadeira para todo
(funções seno e cosseno estão definidas para todo real), a função
satisfaz a equação diferencial em todo o seu domínio.
Resposta
Sim. A função
é solução, pois
.