Determine se a função fornecida é uma solução da equação diferencial dada:
(a) y=\operatorname{sen} x-\cos x ; \quad y^{\prime}+y=2 \operatorname{sen} x.

Passo 1

O enunciado dá a função y=\operatorname{sen} x-\cos x e a equação diferencial
y'+y=2\operatorname{sen} x.
A pergunta é: essa função é solução da equação diferencial?
Informações relevantes: a função candidata y está explícita; precisamos calcular y' e verificar se, ao somar y' com y, obtemos exatamente 2\operatorname{sen} x.

Passo 2

Vamos calcular a derivada y'. Vou lembrar e explicar as regras que uso:
  • A derivada de \operatorname{sen} x em relação a x é \cos x.
  • A derivada de \cos x em relação a x é -\operatorname{sen} x.
  • A derivada é linear: a derivada da soma é soma das derivadas, e constantes fatoram.
Aplicando isso em y=\operatorname{sen} x-\cos x:
y'=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big)-\frac{d}{dx}\big(\cos x\big).
Usando as regras:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big)=\cos x,\qquad \frac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\operatorname{sen} x.
Portanto
y'=\cos x -(-\operatorname{sen} x)=\cos x+\operatorname{sen} x.

Passo 3

Agora formamos y'+y. Escrevo as duas expressões que já tenho e somo termo a termo:
y' + y = \big(\cos x+\operatorname{sen} x\big) + \big(\operatorname{sen} x-\cos x\big).

Passo 4

Faço a soma agrupando termos semelhantes (aqui aproveitamos que \cos x aparece com sinais opostos):
y'+y = \cos x + \operatorname{sen} x + \operatorname{sen} x - \cos x.
Os termos \cos x e -\cos x se cancelam, sobrando
y'+y = \operatorname{sen} x + \operatorname{sen} x = 2\operatorname{sen} x.

Passo 5

Concluímos que, depois de derivar e somar, obtemos exatamente o lado direito da equação diferencial dado no enunciado. Como a igualdade é verdadeira para todo x (funções seno e cosseno estão definidas para todo real), a função y=\operatorname{sen} x-\cos x satisfaz a equação diferencial em todo o seu domínio.

Resposta

Sim. A função y=\operatorname{sen} x-\cos x é solução, pois y'+y=2\operatorname{sen} x.

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