Determine se a função fornecida é uma solução da equação diferencial dada:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e a equação diferencial
A pergunta é: verificar se a função fornecida é uma solução da equação diferencial — isto é, se ao substituir
na equação a igualdade fica verdadeira para todos os
do domínio da função. Informação importante: a função
está definida apenas para
.
Estratégia para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial: calcular as derivadas necessárias da função dada, substituir essas derivadas na equação diferencial e verificar se a expressão obtida é identicamente zero (para todo
no domínio). Se for zero para todo
do domínio, é solução; se não for, não é solução.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada de
. Conhecimento útil: a derivada do logaritmo natural é
para
. Aqui a variável
é a variável independente;
é a função dependente de
. Portanto
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada. Podemos reescrever
e usar a regra do poder (power rule): para qualquer
,
. Aplicando com
obtemos
Passo 4
Substituímos
e
na expressão da equação diferencial. A expressão do lado esquerdo é
. Substituindo:
Calcule passo a passo:
. Então
Passo 5
Interpretação do resultado: obtivemos
. Para a função ser solução da equação diferencial, precisaríamos que essa expressão fosse igual a
para todo
no domínio (
). Perguntamos: existe
tal que
? Como o numerador é
(não zero),
nunca é zero para nenhum
. Logo a expressão não é identicamente zero no domínio.
Conclusão: a função
não satisfaz a equação diferencial
para os valores de
em que está definida (
). Portanto não é solução.
Resposta
Não,
não é solução da equação diferencial.