Determine se a função fornecida é uma solução da equação diferencial dada:
y=\ln x ; \quad x y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle y=\ln x e a equação diferencial
x\,y^{\prime\prime}-y^{\prime}=0.
A pergunta é: verificar se a função fornecida é uma solução da equação diferencial — isto é, se ao substituir \displaystyle y=\ln x na equação a igualdade fica verdadeira para todos os x do domínio da função. Informação importante: a função \displaystyle y=\ln x está definida apenas para x>0.
Estratégia para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial: calcular as derivadas necessárias da função dada, substituir essas derivadas na equação diferencial e verificar se a expressão obtida é identicamente zero (para todo x no domínio). Se for zero para todo x do domínio, é solução; se não for, não é solução.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada de \displaystyle y=\ln x. Conhecimento útil: a derivada do logaritmo natural é
\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x},
para x>0. Aqui a variável x é a variável independente; \displaystyle y é a função dependente de x. Portanto
y'=\frac{1}{x}.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada. Podemos reescrever \displaystyle y'=\frac{1}{x}=x^{-1} e usar a regra do poder (power rule): para qualquer n, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aplicando com n=-1 obtemos
y''=\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big)=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Substituímos y' e y'' na expressão da equação diferencial. A expressão do lado esquerdo é \displaystyle x\,y''-y'. Substituindo:
x\,y''-y' = x\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)-\frac{1}{x}.
Calcule passo a passo: x\cdot\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=-\dfrac{1}{x}. Então
x\,y''-y'=-\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=-\frac{2}{x}.

Passo 5

Interpretação do resultado: obtivemos x\,y''-y'=-\dfrac{2}{x}. Para a função ser solução da equação diferencial, precisaríamos que essa expressão fosse igual a 0 para todo x no domínio ( x>0). Perguntamos: existe x>0 tal que -\dfrac{2}{x}=0? Como o numerador é -2 (não zero), -\dfrac{2}{x} nunca é zero para nenhum x\neq\infty. Logo a expressão não é identicamente zero no domínio.
Conclusão: a função \displaystyle y=\ln x não satisfaz a equação diferencial x\,y''-y'=0 para os valores de x em que está definida ( x>0). Portanto não é solução.

Resposta

Não, y=\ln x não é solução da equação diferencial.

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