Verifique que
para
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente verifique que
para a função
.
Informações dadas: a função é , onde
e
são constantes (expoentes). A tarefa é calcular as derivadas parciais de segunda ordem mistas e mostrar que elas são iguais.
Informações dadas: a função é
Passo 2
O que significa calcular uma derivada parcial?
Quando escrevemos estamos derivando
em relação a
mantendo
fixo (tratamos
como constante). Analogamente,
deriva em relação a
mantendo
fixo. Para calcular derivadas de potências usamos a regra de potência: a derivada de
em relação a
é
. Essa regra vale para potências com expoente constante.
Quando escrevemos
Passo 3
Calcule
.
Tratando como constante, aplicamos a regra de potência à parte
. Logo,
Tratando
Passo 4
Calcule a derivada mista
.
Agora derivamos em relação a
, tratando
como constante. Aplicando a regra de potência a
obtemos
Agora derivamos
Passo 5
Calcule
.
Tratando como constante e derivando em relação a
, pela regra de potência,
Tratando
Passo 6
Calcule a derivada mista
.
Agora derivamos em relação a
, tratando
como constante. Aplicando a regra de potência a
,
Agora derivamos
Passo 7
Compare
e
.
Dos cálculos dos passos anteriores temos
Dos cálculos dos passos anteriores temos
portanto
. (Isso também está de acordo com o teorema de Clairaut: quando as segundas derivadas parciais são contínuas, as mistas coincidem.)