Verifique que f_{x y}=f_{y x} para f=x^{m} y^{n}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente verifique que \,f_{xy}=f_{yx}\, para a função \,f=x^{m}y^{n}\,.
Informações dadas: a função é \,f(x,y)=x^{m}y^{n}\,, onde \,m e \,n são constantes (expoentes). A tarefa é calcular as derivadas parciais de segunda ordem mistas e mostrar que elas são iguais.

Passo 2

O que significa calcular uma derivada parcial?
Quando escrevemos \,f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x}\, estamos derivando \,f em relação a \,x mantendo \,y fixo (tratamos \,y como constante). Analogamente, \,f_y=\dfrac{\partial f}{\partial y}\, deriva em relação a \,y mantendo \,x fixo. Para calcular derivadas de potências usamos a regra de potência: a derivada de \,x^{m} em relação a \,x é \,m x^{m-1}. Essa regra vale para potências com expoente constante.

Passo 3

Calcule \,f_x.
Tratando \,y^{n} como constante, aplicamos a regra de potência à parte \,x^{m}. Logo,
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{m}y^{n}\bigr) = \biggl(\frac{\partial}{\partial x}x^{m}\biggr)\,y^{n} = m x^{m-1} y^{n}.

Passo 4

Calcule a derivada mista \,f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_x).
Agora derivamos \,f_x=m x^{m-1}y^{n} em relação a \,y, tratando \,x como constante. Aplicando a regra de potência a \,y^{n} obtemos
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(m x^{m-1} y^{n}\bigr) = m x^{m-1}\,\frac{\partial}{\partial y}y^{n} = m x^{m-1}\cdot n y^{n-1} = mn\,x^{m-1}y^{n-1}.

Passo 5

Calcule \,f_y.
Tratando \,x^{m} como constante e derivando em relação a \,y, pela regra de potência,
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{m}y^{n}\bigr) = x^{m}\,\frac{\partial}{\partial y}y^{n} = x^{m}\cdot n y^{n-1} = n x^{m} y^{n-1}.

Passo 6

Calcule a derivada mista \,f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_y).
Agora derivamos \,f_y=n x^{m}y^{n-1} em relação a \,x, tratando \,y como constante. Aplicando a regra de potência a \,x^{m},
f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(n x^{m} y^{n-1}\bigr) = n y^{n-1}\,\frac{\partial}{\partial x}x^{m} = n y^{n-1}\cdot m x^{m-1} = mn\,x^{m-1}y^{n-1}.

Passo 7

Compare \,f_{xy} e \,f_{yx}.
Dos cálculos dos passos anteriores temos
f_{xy}=mn\,x^{m-1}y^{n-1} \quad\text{e}\quad f_{yx}=mn\,x^{m-1}y^{n-1},
portanto \,f_{xy}=f_{yx}. (Isso também está de acordo com o teorema de Clairaut: quando as segundas derivadas parciais são contínuas, as mistas coincidem.)

Resposta

f_{xy}=f_{yx}=mn\,x^{m-1}y^{n-1}.

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