Sejam X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{40} uma amostra aleatória simples, extraída de uma população cuja função de densidade de probabilidade é:
f(x)=\left\{\begin{array}{cr} \frac{1}{30} e^{2-x}, & \text { se } \\\ \frac{2}{45} \sqrt[3]{x-1}, & 2-4 \ln 2 \leqslant x \leqslant 2 \\\\ 0, & \text { se } 2 \leqslant x \leqslant 9 \\\\ 0, & \text { caso contrário. } \end{array}\right.á
Encontre c tal que P(\bar{X} \leqslant c)=0,975.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar c tal que
P(\bar{X}\leqslant c)=0,975,
onde \bar{X} é a média amostral de uma amostra aleatória simples de tamanho n=40 retirada de uma população com função densidade f(x) dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{cr} \frac{1}{30} e^{2-x}, & \text{se } \; \text{(domínio não especificado no enunciado)}\\[4pt] \frac{2}{45} \sqrt[3]{x-1}, & \text{se } \; 2-4\ln 2 \leqslant x \leqslant 2\\[4pt] 0, & \text{se } \; 2 \leqslant x \leqslant 9\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{array}\right.íãá
Informações relevantes dadas:
  • n=40.
  • Foi fornecida uma função densidade f(x) em partes, mas o enunciado, da forma como está escrito, contém ambiguidades/contradições (detalhes no próximo passo).
  • A tarefa final é achar o quantil superior da distribuição da média amostral que corresponde a probabilidade 0,975.
Nenhuma outra informação foi pedida explicitamente pelo enunciado. A resolução matemática (cálculo de c) exige conhecer a média populacional \mu e a variância populacional \sigma^2, obtidas a partir de f(x). Vou explicar como proceder e, em seguida, apontar por que não é possível computar numericamente c com a fórmula tal como o enunciado está escrito.]

Passo 2

Observação sobre a função densidade: antes de calcular qualquer integral, é preciso que f(x) seja uma função densidade válida, isto é:
  1. f(x)\geq 0 para todo x;
  2. \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Analisando as peças dadas:
  • Há uma peça com \frac{1}{30}e^{2-x} cuja região de validade não ficou explícita no enunciado (a linha de domínio está em branco). Essa omissão impede saber onde integrar essa peça.
  • A segunda peça tem forma \frac{2}{45}\sqrt[3]{x-1} definida para 2-4\ln 2 \leqslant x \leqslant 2. Note que 2-4\ln 2 \approx -0,7726. Para x<1, a expressão \sqrt[3]{x-1} é negativa (a raiz cúbica de número negativo é negativa). Assim nesta subintervalo parte da densidade seria negativa, o que viola a condição de densidade não-negativa.
  • Há ainda uma linha que coloca 0 em 2\leqslant x\leqslant 9, o que entra em conflito com a possibilidade de a primeira peça (exponencial) ter sido destinada a esse mesmo intervalo — há inconsistência entre as linhas.
Portanto, com a fórmula exatamente como aparece no enunciado, a função apresentada não está claramente especificada e, além disso, a segunda peça leva a valores negativos de f(x) se for aplicada no intervalo indicado. Por isso não é possível calcular \mu e \sigma^2 a partir dessa definição ambígua/contraditória.

Passo 3

Vou explicar didaticamente o método que devemos usar caso a densidade estivesse corretamente especificada. Assim você saberá o que fazer na prova, caso a versão correta do enunciado seja dada.
  1. Objetivo: encontrar c tal que
P(\bar{X}\leqslant c)=0,975.
  1. Teorema usado: Teorema do Limite Central (TLC). Para amostras independentes de tamanho n suficientemente grande, a distribuição de \bar{X} é aproximadamente normal com média \mu e variância \sigma^2/n, onde
\mu = E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx,
\sigma^2 = \operatorname{Var}(X) = E[X^2] - \mu^2,
E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2\,f(x)\,dx.
Nesse problema, n=40 é suficientemente grande para aplicar o TLC com boa aproximação.
  1. Quantil da normal: Se \bar{X}\approx N\big(\mu,\sigma^2/n\big), então
P(\bar{X}\leqslant c)=0,975 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{c-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} = z_{0,975},
onde z_{0,975} é o quantil 97{,}5\% da N(0,1). Numericamente, z_{0,975}\approx 1{,}96.
  1. Resolvendo para c obtemos a fórmula prática usada na prova:
c = \mu + z_{0,975}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  1. Aplicação prática: com n=40 e z_{0,975}\approx 1{,}96,
\sqrt{n}=\sqrt{40}\approx 6{,}3249,
\frac{z_{0,975}}{\sqrt{n}}\approx \frac{1{,}96}{6{,}3249}\approx 0{,}3098.
Logo, numericamente,
c\approx \mu + 0{,}3098\,\sigma.
Isto significa que, para obter o valor numérico de c, precisamos apenas computar a média populacional \mu e o desvio-padrão populacional \sigma (raiz de \sigma^2) a partir de f(x), e então usar a fórmula acima.
  1. Como calcular \mu e E[X^2] quando a densidade estiver correta:
  • Se a densidade for dada por pedaços f(x)=f_1(x) em [a,b] e f(x)=f_2(x) em [b,c], então
\mu = \int_a^b x f_1(x)\,dx + \int_b^c x f_2(x)\,dx,
E[X^2] = \int_a^b x^2 f_1(x)\,dx + \int_b^c x^2 f_2(x)\,dx.
  • Integrais típicas que apareceriam aqui:
    • Para termos exponenciais como \int x e^{-\alpha x}\,dx usamos integração por partes (ou tabelas), por exemplo
    \int x e^{-\alpha x}\,dx = -\frac{x}{\alpha}e^{-\alpha x} - \frac{1}{\alpha^2}e^{-\alpha x} + C.
    • Para termos com raiz cúbica, use substituição u=x-1 e a primitiva de u^{1/3} é \frac{3}{4}u^{4/3}.

Passo 4

Por que não posso dar um valor numérico final para c com a fórmula do enunciado atual:
  • A peça exponencial \frac{1}{30}e^{2-x} não tem o intervalo em que vale explicitado; sem saber o intervalo onde essa fórmula se aplica não há como integrar essa peça.
  • A peça cúbica \frac{2}{45}\sqrt[3]{x-1} está definida no enunciado para um intervalo que inclui valores de x<1, o que tornaria a densidade negativa nesse trecho (pois \sqrt[3]{x-1}<0 quando x<1). Isso viola a condição básica f(x)\ge 0.
  • Há uma linha que afirma f(x)=0 para 2\le x\le 9, o que entra em conflito com a hipótese de que a peça exponencial poderia valer em [2,9].
  • Dado tudo isso, não podemos calcular \mu nem \sigma^2 de forma consistente, e portanto não podemos calcular numericamente c.

Passo 5

O que eu faria na prova (resumindo e te encorajando):
  • Primeiro, leia com atenção o enunciado e verifique os intervalos de cada ramo da densidade. Se algum intervalo estiver faltando ou contraditório, peça (ou use) a versão correta.
  • Depois, calcule \mu e E[X^2] somando integrais sobre os intervalos onde f(x)>0.
  • Calcule \sigma=\sqrt{E[X^2]-\mu^2}.
  • Use a fórmula
c=\mu+z_{0,975}\frac{\sigma}{\sqrt{40}},
com z_{0,975}\approx 1{,}96 para obter c numérico.
  • Numericament e, como mostrado, c\approx \mu+0{,}3098\,\sigma.
Se você puder me passar a versão corrigida/clareada da função densidade (ou confirmar os intervalos corretos para cada peça), eu faço as integrais passo a passo e entrego o valor numérico de c.

Resposta

Não é possível determinar numericamente c porque a função densidade f(x) fornecida está ambígua/contraditória (intervalos ausentes/sobrepostos e trecho que tornaria f(x)<0); é preciso a definição correta de f(x) para calcular \mu e \sigma e então obter c.

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