A transmissão por correias é composta de duas polias com os seguintes diâmetros:
Polia motora - \mathrm{d}_{1}=50 \mathrm{~mm}
Polia movida -\mathrm{d}_{2}=75 \mathrm{~mm}
A polia movida atua com velocidade angular de \omega=10 \pi r \mathrm{rad} / \mathrm{s}; sendo assim, é correto afirmar que a rotação em rpm da polia movida e motora e a relação de transmissão entre elas é de, respectivamente,
A 200 / 300 / 1: 1,5
B 500 / 750 / 1: 0,66
C 900 / 600 / 1: 1,25
D 300 / 200 / 1: 1,5
E 450 / 300 / 1: 0,66

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está escrito abaixo:
  • Diâmetro da polia motora: \mathrm{d}_{1}=50\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro da polia movida: \mathrm{d}_{2}=75\\ \mathrm{mm}.
  • Velocidade angular da polia movida: \omega_{2}=10\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Pergunta pedida (na ordem do enunciado):
  1. Rotação em rpm da polia movida.
  2. Rotação em rpm da polia motora.
  3. Relação de transmissão entre as duas polias (expressa no formato pedido).

Passo 2

Converter velocidade angular para rpm — fórmula e explicação:
A velocidade angular \omega está em \mathrm{rad/s}. A rotação em revoluções por minuto ( \mathrm{rpm}) é o número de revoluções por minuto. Uma revolução corresponde a 2\pi radianos e 1 minuto tem 60 segundos. Portanto a fórmula de conversão é:
n = \frac{\omega\cdot 60}{2\pi},
onde n é a rotação em \mathrm{rpm} e \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s}.
Explicação: multiplicamos \omega por 60 para passar de por segundo para por minuto e dividimos por 2\pi para passar de radianos para revoluções.

Passo 3

Calcular a rotação da polia movida usando a fórmula:
Substituindo \omega_{2}=10\pi\\ \mathrm{rad/s} em \;n_{2}=\dfrac{\omega_{2}\cdot60}{2\pi}\;:
n_{2}=\frac{10\pi\cdot 60}{2\pi}.
Simplificando: o \pi cancela e 10\cdot 60 /2 = 10\cdot 30 = 300. Logo
n_{2}=300\\ \mathrm{rpm}.
Interpretação: a polia movida gira a 300\\ \mathrm{rpm}.

Passo 4

Relação entre velocidades angulares das polias por transmissão por correia — fórmula e explicação:
Numa transmissão por correia sem deslizamento, a velocidade linear na periferia é igual para ambas as polias. Se r é o raio e \omega a velocidade angular, a velocidade linear é v=\omega r. Igualando as duas polias,
\omega_{1}r_{1}=\omega_{2}r_{2}.
Como r é proporcional ao diâmetro d ( r=d/2), podemos escrever
\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}=\frac{r_{2}}{r_{1}}=\frac{d_{2}}{d_{1}}.
Isto significa: a razão das velocidades angulares é igual à razão dos diâmetros oposta (a polia menor gira mais rápido).

Passo 5

Calcular a velocidade angular da polia motora \omega_{1} usando a relação de diâmetros:
\omega_{1}=\omega_{2}\cdot\frac{d_{2}}{d_{1}}.
Substituindo \omega_{2}=10\pi, d_{2}=75\\ \mathrm{mm}, d_{1}=50\\ \mathrm{mm}:
\omega_{1}=10\pi\cdot\frac{75}{50}=10\pi\cdot 1{,}5=15\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Converter \omega_{1}=15\pi\\ \mathrm{rad/s} para \mathrm{rpm} usando a fórmula do Passo 2:
n_{1}=\frac{\omega_{1}\cdot 60}{2\pi}=\frac{15\pi\cdot 60}{2\pi}.
Simplificando: \pi cancela e 15\cdot 60 /2 = 15\cdot 30 = 450. Logo
n_{1}=450\\ \mathrm{rpm}.
Interpretação: a polia motora gira a 450\\ \mathrm{rpm}.

Passo 7

Calcular a relação de transmissão entre as polias e explicar o significado:
A razão entre as rotações pode ser escrita de duas formas; aqui vamos expressar a relação na forma \text{polia movida}:\text{polia motora}. Usando n_{2}=300 e n_{1}=450:
\frac{n_{2}}{n_{1}}=\frac{300}{450}=\frac{2}{3}=1:1{,}5
ou seja, para cada 1 volta da polia movida, a polia motora dá 1{,}5 voltas — escrito como 1:1{,}5. (Se preferir a razão inversa, polia motora:polia movida seria 1{,}5:1.)

Resposta

300\\ \mathrm{rpm}
450\\ \mathrm{rpm}
1:1,5

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